3. Первая вариация.

С помощью понятия линейного функционала вводится понятие первого дифференциала (или, что то же, первой вариации) функционала. Это понятие вводится так же, как и для функций.

Функция называется дифференцируемой в точке если ее приращение можно представить в виде

где — линейная функция, которая называется дифференциалом функции в точке

Функционал называется дифференцируемым в точке если его приращение представимо в виде

где — линейный функционал. Функционал называется первой вариацией (или первым дифференциалом) функционала в точке и обозначается так:

Замечание 1. Функционал (первая вариация определяется единственным образом.

Если функционал дифференцируем в точке то его первую вариацию можно вычислить по формуле:

Действительно, положим где элемент фиксирован. Тогда в силу (2) имеем

так что

Вычислим первую вариацию функционала (1) в предположении, что функция непрерывно

дифференцируема по совокупности переменных при а Можно показать, что этот функционал дифференцируем во всех точках пространства и потому его первую вариацию вычислим по формуле (3). Имеем

где значения берутся в точке