2. Регулярные особые точки.

Многие задачи математики, механики, физики приводят к уравнениям второго порядка, вида (1), коэффициенты которых — рациональные функции

где — многочлены. Можно считать, что эти дроби несократимы; тогда в точках, в которых или хотя бы один из коэффициентов уравнения (1) обратится в бесконечность. Такие точки называются особыми точками уравнения (1). Решения уравнения (1) будут, вообще говоря, иметь особенности в этих

точках. Изучение поведения решений вблизи особых точек — это один из разделов аналитической теории дифференциальных уравнений, с которой можно познакомиться по монографиям [1, 28, 45].

Простейшие особенности — это так называемые регулярные особые точки.

Рассмотрим уравнение второго порядка

где а — комплексное число. Если функции аналитичны в некотором круге и точка а — особая, то а называется регулярной особой точкой.

Простейший пример уравнения, имеющего регулярную особую точку — это уравнение Эйлера (гл. 1, § 5)

Точка — регулярная особая, если ). Если корни определяющего уравнения (гл. 1, § 5)

различны, то уравнение Эйлера имеет фундаментальную систему решений Будем рассматривать эти решения при положительных х и пусть вещественны. Выясним характер особенности решения. Если то т. е. — особая точка решения Если и — нецелое, то если (целая часть числа так как

. В этом случае точка будет особой для всех производных

Оказывается, что структура особенностей решений уравнения (8) в окрестности регулярной особой точки такая же, как и для решений уравнения Эйлера. Пусть рассмотрим уравнение (8) на полуоси Будем искать решение в виде

с неизвестными . Имеем

После подстановки в уравнение (8) и сокращения на получим

Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений

где обозначено

Так как то X должно удовлетворять уравнению

которое называется определяющим. Пусть — корни этого уравнения.

1°. Разность не есть целое число. Тогда ни при каком целом Полагая уравнениях (11), можно последовательно найти коэффициенты (аналогично при ).

2°. — целое число. Пусть тогда ни при каком целом и при система разрешима. При имеем так что становится невозможным найти коэффициенты . В этом случае второе решение

можно найти по формуле Лиувилля:

Это решение может содержать логарифм (см. п. 3).

Теорема 2. Пусть функции аналитичны в круге Если разность корней определяющего уравнения не есть целое число, то уравнение (8) имеет два линейно независимых решения вида

где — аналитические в круге функции. Если есть неотрицательное целое число, то уравнение (8) имеет решение вида (14).

Доказательство см. в [28]. Аналогичные утверждения справедливы для линейных дифференциальных уравнений порядка

Точка а называется регулярной особой точкой этого уравнения, если функции аналитичны в некотором круге (и точка а — особая). Будем искать решение в виде степенного ряда (9) (при тогда для К получим определяющее уравнение

Теорема 3. Пусть разности корней определяющего уравнения не являются целыми числами. Тогда уравнение (15) имеет фундаментальную систему решений вида

аналитические в круге функции и

Рассмотрим линейную систему из уравнений

Точка а называется регулярной особой точкой этой системы, если все элементы матрицы-функции аналитичны в некотором круге .

Пример. Рассмотрим систему

с постоянной матрицей А. Подстановка приводит систему к виду Пусть собственные значения различны, тогда все решения системы (19) даются формулой

Здесь — собственные векторы матрицы А и — произвольные постоянные.

Будем искать решение системы (18) в виде

где X — неизвестное число — неизвестные постоянные -векторы. Каждый элемент матрицы-функции разлагается в степенной ряд

так что матрица-функция разлагается в ряд

Здесь есть постоянная -матрица с элементами Подставив ряд (20) в систему (19) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях получим рекуррентную систему уравнений

Первое уравнение имеет вид

(мы учли, что так что К должно быть собственным значением, а вектор должен быть собственным вектором матрицы А. Определяющее уравнение принимает вид

Теорема 4. Пусть разности корней определяющего уравнения не являются целыми числами, Тогда система (18) имеет фундаментальную систему решений вида

— вектор-функции с аналитическими в круге компонентами.

Доказательство теорем 3, 4 и дальнейшие сведения по аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений читатель сможет найти в [1, 28, 51].