2. Теорема о неявной функции.
Рассмотрим систему из
уравнений
неизвестными и приведем достаточные условия, при которых можно выразить из этой системы переменные
через
Тогда найдем функции
которые неявно заданы системой уравнений (16). Перейдем к векторным обозначениям, положив
(все векторы-столбцы), тогда система (16) примет вид
Обозначим
матрицу Якоби вектор-функции
относительно переменных у, т. е.
-матрицу
Теорема о неявной функции. Пусть выполнены условия:
1°. Вектор-функция
непрерывно дифференцируема в окрестности точки
существуют окрестности
такие, что:
1. Существует вектор-функция
которая определена при
значения лежат в области V, и
2. Вектор-функция
непрерывно дифференцируема в области
3. Вектор-функция
удовлетворяющая тождеству (18), единственна, если область
достаточно мала.
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную систему
относительно
неизвестных
с известными правыми частями
Число уравнений равно числу неизвестных, т. е. это система вида (1) и при
она имеет решение
Матрица Якоби вектор-функции, стоящей в левой части (19), есть
Здесь
— единичная и нулевая матрицы порядков
так как
. В точке
имеем
и для системы
(19) выполнены условия теоремы об обратной функции. Поэтому существует, и притом единственная, обратная вектор-функция
которая взаимно однозначно отображает окрестность
точки
на окрестность
точки
и вектор-функции
непрерывно дифференцируемы. Окрестность
можно задать заранее; возьмем ее в виде
, где
— окрестность точки
а в V — окрестность точки
Кроме того, ясно, что
так что
Положим
тогда из первого уравнения системы (19) находим
и теорема доказана.
Вычислим матрицу Якоби
неявной вектор-функции
Пусть х — одно переменное, у — одно переменное,
— скалярная функция. Дифференцируя тождество (18) по х, получаем
откуда находим
Удобство матричных обозначений состоит в том, что эта формула справедлива и для вектор-функций, т. е. если
. В формуле
есть
-матрица описанная выше,
есть
-матрица. Нужно, конечно, проследить за тем, чтобы матрицы перемножались в нужном порядке; но при
ошибиться невозможно, так как нельзя умножить
-матрицу на
-матрицу.