§ 12. Дельта-функция и ее применения

1. Дельта-функция Дирака.

Эта функция — она обозначается — была введена английским физиком П. Дираком. Ее определение таково:

Дельта-функцию можно рассматривать, например, как плотность единичной массы, сосредоточенной в точке (это только одна из известных физических интерпретаций дельта-функции). Действительно, обозначим эту плотность тогда при (вся масса сосредоточена в точке , ибо масса равна единице, так что .

Разумеется, дельта-функция не есть функция в обычном смысле слова. Это обобщенная функция. Теория обобщенных функций была построена советским математиком С. Л. Соболевым и французским математиком П. Шварцем.

Основы теории обобщенных функций читатель может тйти в [15, 18]. Мы ограничимся тем, что приведем сновные формулы, относящиеся к дельта-функции, и не будем излагать строгую теорию обобщенных функций. Читатель, незнакомый с обобщенными функциями, будет находиться примерно в том же положении, в каком находились в начале нашего века инженеры, которые использовали метод Хевисайда (см. гл. 1, § 11). Впрочем, это не совсех М так: математического обоснования метода Хевисайда тогда не было, а математическое обоснование приведенных ниже результатов — теория обобщенных функций — существует.

Введем понятие обобщенной функции. Пусть К — множество всех функций которые бесконечно дифференцируемы на всей оси и финитны. Последнее означает, что каждая функция тождественно равна нулю вне некоторого отрезка: если числа — свои для каждой функции Множество К есть линейное пространство; его элементы называются основными (или пробными) функциями.

Обобщенной функцией (над пространством К) называется линейный функционал, определенный на пространстве К. Именно, каждой функции ставится в соответствие число причем

для любых основных функций и для любых чисел « От функционала требуется также непрерывность; мы не будем вводить соответствующее определение, поскольку во всех рассматриваемых примерах это свойство выполняется.

Будем употреблять обозначения, принятые в физической литературе. Именно, значение будем записывать в виде интеграла

Класс обобщенных функций содержит все «обычные» функции. Действительно, если — непрерывная на оси функция, то интеграл из (3) существует и обладает свойством линейности. Если — непрерывные на всей оси функции и

любой функции (гл. 6, § 3, основная лемма вариационного исчисления). По аналогии с этим фактом будем считать, что две обобщенные функции равны: если соотношение (4) выполняется для любой основной функции

Введем производные от обобщенных функций. Пусть — непрерывно дифференцируемая на всей оси функция, — основная функция. Интегрируя по частям,

получаем

поскольку внеинтегральная подстановка равна нулю — функция финитна. Формулу (5) примем в качестве определения обобщенной функции Заметим, что правая часть формулы (5) определена, так как — основная функция, и потому интеграл определен. Аналогично определяются высшие из водные:

Приведем основные формулы для дельта-функции и поясним их.

Здесь — непрерывная на всей оси функция. Эта формула есть определение дельта-функции.

Дельта-функцию можно представить как «предел» обычных функций.

Пусть — ступенчатая функция (рис. 18):

так что

Рис. 18.

Функцию можно интерпретировать как плотность единичной массы, «размазанной» да интервал . Покажем, что

где предел понимается так:

для любой непрерывной на всей оси функции Действительно, по теореме о среднем

откуда следует (8).

Обозначим символом ступенчатую функцию Хевисайда:

Действительно, пусть — основная функция. Согласно определению (5),

(так как — финитная функция)

Поскольку первый и последний интегралы равны для любой основной функции то согласно определению равенства обобщенных функций (см. (4)).

3°. Пусть функция непрерывно дифференцируема на полуосях в точке а может иметь разрыв. Тогда

Здесь (т. е. величина скачка функции — обычная производная.

Действительно, по определению (5) имеем

(интегрируем по частям)

Последнее слагаемое равно , и формула 3° доказана.

Здесь — любая основная функция; если фиксировано, то достаточно, чтобы функция была раз непрерывно дифференцируема на оси х.

Пусть (для определенности), — непрерывная на оси х функция. Тогда

(мы сделали замену

Так как первый последний интегралы равны при любой непрерывной функции то 5° доказано.

Здесь мы ограничимся совсем уже формальным выводом. Воспользуемся формулой обращения для преобразования Фурье:

где преобразование Фурье функции

Пусть тогда подставляя это выражание в формулу обращения, получаем 6°.

7°. Пусть — гладкая функция, имеющая конечно число нулей и все нули — простые Тогда

Рассмотрим вначале случай, когда функция имеет ровно один нуль Так как при то

где может быть выбрано сколь угодно малым. Сделаем в интеграле замену переменной тогда существует обратная функция и

Действительно, числа положительны, Если то получим

так что в обоих случаях

Тем самым формула доказана при Так как при то

со доказанному выше.

Формула из п. 7° верна и в том случае, когда функция имеет бесконечно много нулей, и все они изолированы. Например,

Приведем еще одну формулу, связанную с дельтафункцией. Пусть — целое число, тогда

Действительно,

Формул 1° — 7° вполне достаточно для решения большинства прикладных вадач, связанных с обыкновенными дифференциальными уравнениями.