ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Пространственно-зависимые скоростные уравнения

Здесь мы зададимся целью развить теорию скоростных уравнений с учетом того, что как скорость накачки, так и поле в резонаторе зависят от пространственной переменной. Благодаря наличию этих пространственных зависимостей следует ожидать, что инверсия населенностей будет также зависеть от пространственных координат. Таким образом, для четырехуровневого лазера можно написать следующие уравнения:

где интегрирование во втором уравнении производится по всему объему активной среды, а смысл каждого обозначения приведен в гл. 5. Уравнение выражает локальный баланс между процессами накачки вынужденного и спонтанного излучения. Заметим, что в левой части этого уравнения частная производная стоит вследствие того, что, как предполагается, величина зависит от пространственных координат. Интеграл в правой части уравнения берется по объему активной среды и учитывает вклад вынужденных процессов в полное число фотонов в резонаторе. Этот интеграл был записан исходя из простого рассмотрения баланса с учетом того факта, что каждый отдельный вынужденный процесс приводит к появлению фотона. Из выражения (2.82), поскольку можно получить вероятность вынужденного излучения как функцию сечения перехода и плотиости энергии поля в резонаторе. Таким образом, можно записать следующее соотношение:

где — скорость света в активной среде. Следует заметить, что зависит как от радиус-вектора так и от времени чем пространственное изменение этой величины определяется пространственным распределением моды резонатора. Если теперь положить , где — инверсия населенностей, и считать, что уравнения с учетом соотношения примут вид

Таким образом, мы записали скоростные уравнения для четырехуровиевого лазера, которые применяются в том случае, когда необходимо учесть зависимость от пространственных координат. Заметим, что, поскольку зависят от координат, величина также должна зависеть от этих координат

и, следовательно, в уравнении ее нельзя вынести за знак интеграла. Следует также заметить, что зависела бы от координат даже в том случае, если скорость накачки была бы постоянной. Зависимость величины от координат, как уже обсуждалось нами в связи с рис. 5.8, объясняется тем, что в активном материале поле стоячей волны приводит к пространственному выжиганию дырок.

Займемся теперь решением уравнений в случае, когда лазер генерирует на одной моде. Пространственное распределение поля этой моди описывается амплитудой поля которую мы будем считать нормированной на ее максимальное значение. Рассмотрим резонатор длиной в котором находится активная среда, имеющая длину и показатель преломления Плотности энергии мод снаружи и внутри активной среди можно записать соответственно в виде

где коэффициент учитывает (в нестационарном случае) временную зависимость плотности энергии. Таким образом, можно написать следующее выражение:

где интеграл в первом выражении правой части берется по всему объему резонатора, а два интеграла в скобках вычисляются — первый по всему объему активной среды, а второй по остальному объему резонатора. Вид выражения в скобках в наводит на мысль, что мы можем определить эффективным объем моды резонатора следующим образом:

С помощью выражений уравнения можно переписать в более удобном виде:

Один из способов решения уравнений состоит в том, чтобы определить набор средних значений величины следующим образом:

где интегрирование производится по объему активной среды. Мы можем теперь определить эффективный объем моды в активном среде как

Из выражений находим

Умножая обе части уравнения на и интегрируя по объему активной среды, с учетом выражений получаем

где мы ввели следующие обозначения:

Рассматривая уравнения можно заметить, что уравнение для содержит уравнение для содержит Следовательно, мы имеем бесконечную цепочку уравнений относительно переменных Для решения этой системы уравнений необходимо каким-либо образом оборвать эту цепочку, что и будет продемонстрировано на следующих примерах.

В качестве первого примера рассмотрим симметричный резонатор, состоящий из двух сферических зеркал с радиусом кривизны, много большим длины резонатора . В этом случае размер пятна моды является приблизительно постоянным вдоль резонатора и его можно принять равным размеру пятна в центре резонатора. Следовательно, для моды имеем [(см. также (5.3)]

где — постоянная фаза, причем она выбирается таким образом, чтобы было равно нулю на зеркалах (например, Следует заметить, что поле в резонаторе, описываемое выражением изменяется в пространстве как в продольном направлении (z-координата), так и в поперечном направлении (z-координата). В нашем случае объемы V и V, в соответствии с даются следующими выражениями:

где — эффективная длина резонатора [см. выражение (5.11)]. Для моды, определяемой выражением цепочку уравнений можно оборвать на члеие, заметив, что

Приближение вытекает из тоги факту, что при больших функцию можно приближенно представить в виде ряда ненормированных -функций Дирака, сосредоточенных в точках где точки, в которых функции имеют максимумы. В действительности в этих точках и поэтому указанную величину можно вынести из-под знака интеграла. Таким образом, в уравнении можно в первом приближении положить и из имеем:

Сравнивая эти уравнения с уравнениями (5.18), мы видим, что они совпадают, если заменить на объем V моды резонатора записать в виде объем моды внутри активной среды записать в виде а величину заменить на Таким образом, получешюе здесь приближение позволяет более точно определить величины, входящие в уравнения (5,18).

В качестве второго примера рассмотрим случай полупроводникового лазера на двойном гетеропереходе (рис. 6.45), в котором протяженность поля моды и поперечном направлении существенно больше поперечного размера самой активной области (рис. 6.44), В соответствии с нашим обсуждением в разд. 6.6.5 скоростные уравнения для данного случая можно получить из если рассматривается как концентрация электронов и дырок;

2) член отвечающий за накачку, заменяется скоростью с которой эти носители заряда инжектируются в единичный объем активной среды;

3) член заменяется на где — минимальная концентрация носителей, которую необходимо инжектировать в полупроводник для получения усиления; 4) время жизни х заменяется на — излучательное время жизни при электрон-дырочной рекомбинации. Будем считать, что торцы полупроводника являются зеркалами резонатора. В этом случае эффективный объем дайной моды более уместно определить следующим образом:

здесь интегрирование производится по всему распределению поля в резонаторе лазера. Сравнение показывает, что объем V в уравнениях необходимо теперь заменить на При этом уравнения принимают вид

где Теперь мы определим средние значения концентраций носителей и т.д. так же, как и в а эффективный объем моды в активной среде — как в Из уравнения получаем

Заметим, что меньше поскольку протяженность поля резонатора в поперечном направлении больше, чем поперечный размер

активного слоя. Из уравнения получаем

где и т.д. определяются аналогично в то время как и т.д. определяются аналогично Цепочку уравнений можно снова оборвать на уравнении с помощью Соответственно в первом приближении в уравнении мы запишем и аналогично Если теперь предположить, что постоянны в активном слое, то уравнений получаем окончательный результат:

где в качестве сокращенной записи мы положили

Наконец, последний пример — это случай, когда лазер генерирует много мод. В данном случае мы все еще можем пользоваться уравнениями при условии, что является постоянной величиной, а равно полному числу фотонов в резонаторе. Это равносильно тому, как если бы мы предположили, что величина является постоянной. Если положить в нашем случае то из выражения получаем уравнения снова оказываются справедливыми при условии, что

здесь — площадь поперечного сечения области, занимаемой лазерным пучком в активной среде.