2. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСПЛЫВЧАТЫХ МНОЖЕСТВ
Вообще говоря, расплывчатое множество есть класс объектов, в котором нет резкой границы между теми объектами, которые входят в этот класс, и теми, которые в него не входят. Более точное определение может быть сформулировано следующим образом.
Определение. Пусть
— совокупность объектов (точек), обозначаемых через х. Тогда расплывчатое множество А в X есть совокупность упорядоченных пар
где
представляет собой степень принадлежности
— функция, отображающая X в пространство М, называемое пространством принадлежности. Когда М содержит только две точки 0 и 1, А является нерасплывчатым и его функция принадлежности совпадает с характеристической функцией нерасплывчатого множества.
В последующем мы будем предполагать, что М есть интервал [0,1], причем 0 и 1 представляют соответственно низшую и высшую степени принадлежности.
(В более общем случае М может быть частично упорядоченным множеством и, в частности, решеткой [15, 6].) Таким образом, наше основное предположение. состоит в том, что расплывчатое множество А, несмотря на нечеткость его границ, может быть точно определено путем сопоставления каждому объекту X числа, лежащего между 0 и 1, которое представляет степень его принадлежности к А.
Пример. Пусть
- совокупность неотрицательных целых чисел. В этом пространстве расплывчатое множество А «нескольких объектов» может быть определено (субъективно), скажем, как набор упорядоченных пар
причем считается, что в (2) перечислены только те пары
для которых положительно.
Замечание. Следует заметить, что во многих практических ситуациях функция принадлежности
должна быть оценена исходя из частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном множестве опорных точек
. Когда А определено таким образом неполностью — и, следовательно, лишь приблизительно, — мы будем говорить, что оно частично определено с помощью «поясняющего примера». Задача оценки
по известному множеству пар
есть задача абстрагирования — задача, играющая центральную роль в распознавании образов [4, 18]. В настоящей статье мы не будем заниматься решением этой задачи, а
будем предполагать (если только не оговорен противное), что
задано для всех х в X.
Для рациональной записи удобно было бы иметь средство для указания того, что расплывчатое множество А получено из нерасплывчатого множества А за счет «размытия» границы множества А. Для этой цели мы будем использовать волнистую черту под символом
(или символами), определяющими а. Например, если а есть множество действительных чисел между 2 и 5, т. е.
, то
есть расплывчатое множество действительных чисел, которые заключены приблизительно между 2 и 5. Аналогично
или просто 5 будет обозначать множество чисел, приблизительно равных 5. Символ — будет называться оператором размытия (fuzzifier). Перейдем теперь к определению нескольких основных понятий, которые понадобятся нам в следующих разделах.
Нормальность. Размытое множество А нормально тогда и только тогда, когда
т. е. супремум
на X равен единице. Расплывчатое множество субнормально, если оно не является нормальным. Непустое субнормальное расплывчатое множество может быть нормализовано делением каждого
на величину
. Расплывчатое множество пусто тогда и только тогда, когда
.
Носитель. Носитель расплывчатого множества А есть такое множество
что
Если
на
то А нерасплывчато. Отметим, что нерасплывчатое множество может быть субнормальным.
Равенство. Два расплывчатых множества равны (что записывается как
) тогда и только тогда, когда
для всех
в X. (В дальнейшем мы для упрощения записи будем опускать аргумент х, когда равенство или неравенство имеет место для всех значений
)
Включение. Расплывчатое множество А содержится в расплывчатом множестве В, или является подмножеством В (записывается как
тогда и только тогда, когда
. В этом смысле расплывчатое множество очень больших чисел есть подмножество расплывчатого множества больших чисел.
Дополнение. Говорят, что А есть дополнение к
тогда и только тогда, когда
. Например, расплывчатые множества
являются дополнениями друг к другу, если отрицание
понимается как операция, заменяющая
на
для каждого
в X
Пересечение. Пересечение А и В обозначается
и определяется как наибольшее расплывчатое множество, содержащееся как в А, так и в В. Функция принадлежности для
определяется следующим равенством:
где
.
Если использовать вместо символа
знак конъюнкции А, можно переписать условие (3) в более простом виде:
Понятие пересечения имеет близкое отношение к понятию соединительного союза
Так, если А — класс высоких людей и В — класс полных людей, то
— класс людей, которые одновременно высокие И полные.
Замечание. Следует заметить, что отождествление союза «И» с операцией (4) означает, что «И» понимается в «жестком» смысле, т. е. отсутствует возможность какой-либо «компенсации» имеющихся значений
какими-либо значениями
, наоборот, «компенсации»
за счет значений
поскольку мы имеем дело с ситуацией либо
Например, если
то
поскольку
. В некоторых случаях ближе к подразумеваемому смыслу союза «И» может оказаться более «мягкая» интерпретация союза «И», соответствующая образованию алгебраического произведения
, а не пересечения
.
Как с математической, так и с практической точки зрения более предпочтительно отождествлять союз «И» с операцией пересечения
, а не с операцией произведения, за исключением тех случаев, кода операция А совершенно не передает требуемого смысла «И». По этой причине в дальнейшем «И» будет пониматься в «жестком смысле», если только - особо не оговорено противное.
Объединение. Понятие объединения множеств двойственно понятию пересечения. Объединение А и В обозначается
и определяется как наименьшее расплывчатое множество, содержащее как А, так и В. Функция принадлежности для
определяется соотношением
если
и
если
Используя вместо символа
знак дизъюнкции V, можно записать условие (5) в более простом виде:
В отличие от пересечения, операция объединения имеет близкое отношение к соединительному союзу «ИЛИ». Так, если множества А и В имеют прежний смысл, то
. Можно также различать «или» в «жестком» смысле, соответствующее операции (6), от «или» в «мягком»
алгебраической сумме А и В, обозначаемой как
и определяемой соотношением (9).
Несложно проверить следующее тождество, связывающее операции пересечения и объединения:
Алгебраическое произведение. Алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В обозначается через
и определяется равенством
Алгебраическая сумма. Алгебраическая сумма А и В обозначается через
и определяется равенством
Легко проверить, что
Замечание. Необходимо отметить, что операции
ассоциативны и дистрибутивны по отношению друг к другу. В то же время операции
(произведения) и
(суммы) ассоциативны, но не дистрибутивны. Заметим также, что операция
(произведение) дистрибутивна по отношению к объединению V, но не наоборот. Вообще говоря, таким свойством обладает любая операция
монотонно неубывающая по каждому из своих аргументов. В символической записи
то
Большинство полученных ниже результатов остается справедливо при замене операции А на операцию
которая является ассоциативной и дистрибутивной относительно операции V.
Выпуклость и вогнутость. Пусть А — расплывчатое множество в пространстве
Тогда А является выпуклым расплывчатым множеством в том и только в том случае, если его функция принадлежности для каждой пары точек
из X удовлетворяет неравенству
для всех
. Соответственно А является
нутым, если его дополнение А выпукло. Нетрудно показать, что если два расплывчатых множества А и B выпуклы, их пересечение
также выпукло. С другой стороны, если А и В вогнуты, то вогнутым будет и их объединение
Отношение. Расплывчатое отношение
на прямом произведении пространств
есть расплывчатое множество в
характеризуемое функцией принадлежности которая сопоставляет каждой упорядоченной паре
ее степень принадлежности
к
. В общем случае
-арное расплывчатое отношение на декартовом произведении
есть расплывчатое множество в X, описываемое зависящей от
переменных функцией принадлежности
Пример. Пусть
, где
— действительная прямая
. Тогда условие
задает расплывчатое отношение в
функция принадлежности которого может иметь, например, такой вид:
Расплывчатые множества, порождаемые отображениями. Пусть
— отображение из
причем образ элемента
обозначается через
и пусть А — расплывчатое множество в пространстве X. Тогда отображение
порождает расплывчатое множество В в пространстве
с функцией принадлежности, задаваемой соотношением
причем супремум берется по всем точкам, составляющим прообраз
в X точки у.
Условные расплывчатые множества. Расплывчатое множество
в пространстве
называется условным по
если его функция принадлежности зависит от переменной
как от параметра. Эта зависимость выражается записью
.
Предположим, что областью изменения параметра
является пространство X и при этом каждому
из X соответствует расплывчатое множество
. Таким образом, мы имеем дело с отображением из X в пространство расплывчатых множеств в Y, характеризуемым
функцией
. Посредством этого отображения любое заданное расплывчатое множество А в X порождает расплывчатое множество
, определяемое соотношением
где
функции принадлежности множеств А и В соответственно. Используя операции
, можно переписать условие (13) в более простом виде:
Отметим, что это соотношение аналогично — однако не эквивалентно выражению для маргинального распределения вероятностей совместного распределения двух случайных переменных, причем
играет роль, аналогичную условному распределению.
Разложимость. Пусть
и пусть С — расплывчатое множество в пространстве
с функцией принадлежности
Тогда С называется разложимым по X и Y в том и только в том случае, если С допускает представление
или, что эквивалентно,
где А и В — расплывчатые множества с функциями принадлежности
соответственно. (Таким образом, А и В — цилиндрические расплывчатые множества в Z.) Это определение справедливо для расплывчатого множества, заданного в декартовом произведении любого конечного числа пространств.
Вероятность расплывчатых событий. Пусть Р — вероятностная мера в
. Расплывчатое событие [23] А в
определяется как расплывчатое подмножество А пространства
функция принадлежности которого, измерима. Вероятность события А задается интегралом Лебега — Стилтьеса:
Иначе говоря,
, где Е — оператор математического ожидания. В случае нормального нерасплывчатого
множества (16) сводится к общепринятому определению вероятности случайного события.
Этим завершается краткое введение в основные понятия теории расплывчатых множеств. В следующих разделах эти понятия будут использованы в качестве основы для важных определений цели, ограничения и решения в условиях «расплывчатости».