2. КРАТКОЕ ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ РАСПЛЫВЧАТЫХ МНОЖЕСТВ

Вообще говоря, расплывчатое множество есть класс объектов, в котором нет резкой границы между теми объектами, которые входят в этот класс, и теми, которые в него не входят. Более точное определение может быть сформулировано следующим образом.

Определение. Пусть — совокупность объектов (точек), обозначаемых через х. Тогда расплывчатое множество А в X есть совокупность упорядоченных пар

где представляет собой степень принадлежности — функция, отображающая X в пространство М, называемое пространством принадлежности. Когда М содержит только две точки 0 и 1, А является нерасплывчатым и его функция принадлежности совпадает с характеристической функцией нерасплывчатого множества.

В последующем мы будем предполагать, что М есть интервал [0,1], причем 0 и 1 представляют соответственно низшую и высшую степени принадлежности.

(В более общем случае М может быть частично упорядоченным множеством и, в частности, решеткой [15, 6].) Таким образом, наше основное предположение. состоит в том, что расплывчатое множество А, несмотря на нечеткость его границ, может быть точно определено путем сопоставления каждому объекту X числа, лежащего между 0 и 1, которое представляет степень его принадлежности к А.

Пример. Пусть - совокупность неотрицательных целых чисел. В этом пространстве расплывчатое множество А «нескольких объектов» может быть определено (субъективно), скажем, как набор упорядоченных пар

причем считается, что в (2) перечислены только те пары для которых положительно.

Замечание. Следует заметить, что во многих практических ситуациях функция принадлежности должна быть оценена исходя из частичной информации о ней, скажем такой, как значения, принимаемые ею на конечном множестве опорных точек . Когда А определено таким образом неполностью — и, следовательно, лишь приблизительно, — мы будем говорить, что оно частично определено с помощью «поясняющего примера». Задача оценки по известному множеству пар есть задача абстрагирования — задача, играющая центральную роль в распознавании образов [4, 18]. В настоящей статье мы не будем заниматься решением этой задачи, а будем предполагать (если только не оговорен противное), что задано для всех х в X.

Для рациональной записи удобно было бы иметь средство для указания того, что расплывчатое множество А получено из нерасплывчатого множества А за счет «размытия» границы множества А. Для этой цели мы будем использовать волнистую черту под символом

(или символами), определяющими а. Например, если а есть множество действительных чисел между 2 и 5, т. е. , то есть расплывчатое множество действительных чисел, которые заключены приблизительно между 2 и 5. Аналогично или просто 5 будет обозначать множество чисел, приблизительно равных 5. Символ — будет называться оператором размытия (fuzzifier). Перейдем теперь к определению нескольких основных понятий, которые понадобятся нам в следующих разделах.

Нормальность. Размытое множество А нормально тогда и только тогда, когда т. е. супремум на X равен единице. Расплывчатое множество субнормально, если оно не является нормальным. Непустое субнормальное расплывчатое множество может быть нормализовано делением каждого на величину . Расплывчатое множество пусто тогда и только тогда, когда .

Носитель. Носитель расплывчатого множества А есть такое множество что Если на то А нерасплывчато. Отметим, что нерасплывчатое множество может быть субнормальным.

Равенство. Два расплывчатых множества равны (что записывается как ) тогда и только тогда, когда для всех в X. (В дальнейшем мы для упрощения записи будем опускать аргумент х, когда равенство или неравенство имеет место для всех значений )

Включение. Расплывчатое множество А содержится в расплывчатом множестве В, или является подмножеством В (записывается как тогда и только тогда, когда . В этом смысле расплывчатое множество очень больших чисел есть подмножество расплывчатого множества больших чисел.

Дополнение. Говорят, что А есть дополнение к тогда и только тогда, когда . Например, расплывчатые множества являются дополнениями друг к другу, если отрицание понимается как операция, заменяющая на для каждого в X

Пересечение. Пересечение А и В обозначается и определяется как наибольшее расплывчатое множество, содержащееся как в А, так и в В. Функция принадлежности для определяется следующим равенством:

где .

Если использовать вместо символа знак конъюнкции А, можно переписать условие (3) в более простом виде:

Понятие пересечения имеет близкое отношение к понятию соединительного союза Так, если А — класс высоких людей и В — класс полных людей, то — класс людей, которые одновременно высокие И полные.

Замечание. Следует заметить, что отождествление союза «И» с операцией (4) означает, что «И» понимается в «жестком» смысле, т. е. отсутствует возможность какой-либо «компенсации» имеющихся значений какими-либо значениями , наоборот, «компенсации» за счет значений поскольку мы имеем дело с ситуацией либо Например, если то поскольку . В некоторых случаях ближе к подразумеваемому смыслу союза «И» может оказаться более «мягкая» интерпретация союза «И», соответствующая образованию алгебраического произведения , а не пересечения .

Как с математической, так и с практической точки зрения более предпочтительно отождествлять союз «И» с операцией пересечения , а не с операцией произведения, за исключением тех случаев, кода операция А совершенно не передает требуемого смысла «И». По этой причине в дальнейшем «И» будет пониматься в «жестком смысле», если только - особо не оговорено противное.

Объединение. Понятие объединения множеств двойственно понятию пересечения. Объединение А и В обозначается и определяется как наименьшее расплывчатое множество, содержащее как А, так и В. Функция принадлежности для определяется соотношением

если и если Используя вместо символа знак дизъюнкции V, можно записать условие (5) в более простом виде:

В отличие от пересечения, операция объединения имеет близкое отношение к соединительному союзу «ИЛИ». Так, если множества А и В имеют прежний смысл, то . Можно также различать «или» в «жестком» смысле, соответствующее операции (6), от «или» в «мягком» алгебраической сумме А и В, обозначаемой как и определяемой соотношением (9).

Несложно проверить следующее тождество, связывающее операции пересечения и объединения:

Алгебраическое произведение. Алгебраическое произведение расплывчатых множеств А и В обозначается через и определяется равенством

Алгебраическая сумма. Алгебраическая сумма А и В обозначается через и определяется равенством

Легко проверить, что

Замечание. Необходимо отметить, что операции ассоциативны и дистрибутивны по отношению друг к другу. В то же время операции (произведения) и (суммы) ассоциативны, но не дистрибутивны. Заметим также, что операция (произведение) дистрибутивна по отношению к объединению V, но не наоборот. Вообще говоря, таким свойством обладает любая операция монотонно неубывающая по каждому из своих аргументов. В символической записи

то

Большинство полученных ниже результатов остается справедливо при замене операции А на операцию которая является ассоциативной и дистрибутивной относительно операции V.

Выпуклость и вогнутость. Пусть А — расплывчатое множество в пространстве Тогда А является выпуклым расплывчатым множеством в том и только в том случае, если его функция принадлежности для каждой пары точек из X удовлетворяет неравенству

для всех . Соответственно А является

нутым, если его дополнение А выпукло. Нетрудно показать, что если два расплывчатых множества А и B выпуклы, их пересечение также выпукло. С другой стороны, если А и В вогнуты, то вогнутым будет и их объединение

Отношение. Расплывчатое отношение на прямом произведении пространств есть расплывчатое множество в характеризуемое функцией принадлежности которая сопоставляет каждой упорядоченной паре ее степень принадлежности к . В общем случае -арное расплывчатое отношение на декартовом произведении есть расплывчатое множество в X, описываемое зависящей от переменных функцией принадлежности

Пример. Пусть , где — действительная прямая . Тогда условие задает расплывчатое отношение в функция принадлежности которого может иметь, например, такой вид:

Расплывчатые множества, порождаемые отображениями. Пусть — отображение из причем образ элемента обозначается через и пусть А — расплывчатое множество в пространстве X. Тогда отображение порождает расплывчатое множество В в пространстве с функцией принадлежности, задаваемой соотношением

причем супремум берется по всем точкам, составляющим прообраз в X точки у.

Условные расплывчатые множества. Расплывчатое множество в пространстве называется условным по если его функция принадлежности зависит от переменной как от параметра. Эта зависимость выражается записью .

Предположим, что областью изменения параметра является пространство X и при этом каждому из X соответствует расплывчатое множество . Таким образом, мы имеем дело с отображением из X в пространство расплывчатых множеств в Y, характеризуемым

функцией . Посредством этого отображения любое заданное расплывчатое множество А в X порождает расплывчатое множество , определяемое соотношением

где функции принадлежности множеств А и В соответственно. Используя операции , можно переписать условие (13) в более простом виде:

Отметим, что это соотношение аналогично — однако не эквивалентно выражению для маргинального распределения вероятностей совместного распределения двух случайных переменных, причем играет роль, аналогичную условному распределению.

Разложимость. Пусть и пусть С — расплывчатое множество в пространстве с функцией принадлежности Тогда С называется разложимым по X и Y в том и только в том случае, если С допускает представление или, что эквивалентно,

где А и В — расплывчатые множества с функциями принадлежности соответственно. (Таким образом, А и В — цилиндрические расплывчатые множества в Z.) Это определение справедливо для расплывчатого множества, заданного в декартовом произведении любого конечного числа пространств.

Вероятность расплывчатых событий. Пусть Р — вероятностная мера в . Расплывчатое событие [23] А в определяется как расплывчатое подмножество А пространства функция принадлежности которого, измерима. Вероятность события А задается интегралом Лебега — Стилтьеса:

Иначе говоря, , где Е — оператор математического ожидания. В случае нормального нерасплывчатого

множества (16) сводится к общепринятому определению вероятности случайного события.

Этим завершается краткое введение в основные понятия теории расплывчатых множеств. В следующих разделах эти понятия будут использованы в качестве основы для важных определений цели, ограничения и решения в условиях «расплывчатости».