3. РАСПЛЫВЧАТЫЕ ЦЕЛИ, ОГРАНИЧЕНИЯ И РЕШЕНИЯ

В общепринятом подходе главными элементами процесса принятия решения являются: а) множество альтернатив, б) множество ограничений, которые необходимо учитывать при выборе между различными альтернативами, и в) функция предпочтительности, ставящая каждой альтернативе в соответствие выигрыш (или проигрыш), который будет получен в результате выбора этой альтернативы.

При рассмотрении этого процесса с более общих позиций принятия решений в расплывчатых условиях естественной представляется другая логическая - схема, важнейшей чертой которой является симметрия по отношению к целям и ограничениям. Эта симметрия устраняет различия между целями и ограничениями и позволяет довольно просто сформировать на их основе решение.

Действительно, пусть — заданное множество альтернатив. Тогда расплывчатая цель, или просто цель, будет отождествляться с фиксированным расплывчатым множеством в X. Например, если (действительная прямая), а расплывчатая цель формулируется как «х должно быть значительно больше 10», то ее можно представить как расплывчатое множество в с функцией принадлежности, имеющей, скажем, такой вид:

Аналогично цели «х должно быть в окрестности 15» может быть поставлено в соответствие расплывчатое

множество с функцией принадлежности

Отметим, что оба эти множества выпуклы в смысле (11).

При обычном подходе функция предпочтительности, используемая в процессе принятия решения, служит для установления линейной упорядоченности на множестве альтернатив. Очевидно, что функция принадлежности расплывчатой цели выполняет ту же задачу и, конечно, может быть получена из функции предпочтительности с помощью нормализации, сохраняющей установленную линейную упорядоченность. В сущности, такая нормализация приводит к общему знаменателю различные цели и ограничения и позволяет, таким образом, обращаться с ними одинаковым образом. Как мы увидим, это является важным аргументом в пользу того, чтобы в качестве одного из основных компонентов в логической схеме принятия решений в расплывчатых условиях пользоваться понятием цели, а не функции предпочтительности.

Подобным же образом расплывчатое ограничение, или просто ограничение, С в пространстве X определяется как некоторое расплывчатое множество в X. Например, в случае ограничение «х должно находиться приблизительно в диапазоне 2—10» может быть представлено расплывчатым множеством с функцией принадлежности, скажем, вида:

где а — положительное число и — четное положительное число, выбираемое так, чтобы передать смысл, в котором следует понимать «приближение» к интервалу [2, 10]. Если, в частности, положить то в точках функция принадлежности равна в то время как при а при .

Важным аспектом приведенных выше определений является то, что и цель и ограничение рассматриваются как расплывчатые множества в пространстве альтернатив; это, как будет показано ниже, дает возможность не делать между ними различия при формировании решения. В противоположность этому при традиционном подходе к принятию решений множество ограничений считается нерасплывчатым множеством в пространстве альтернатив X, тогда как функция предпочтительности является функцией перехода из X в некоторое другое пространство. Но даже и в этом случае использование множителей Лагранжа и штрафных функций делает очевидным существование некоторого внутреннего сходства между функциями предпочтительности и ограничениями (см. [17], гл.15). Это сходство — а на самом деле тождественность — становится совершенно естественным при нашей формулировке.

Действительно, предположим, например, что расплывчатая цель и расплывчатое ограничение С заданы следующим образом:

[ задаются соответственно формулами (17) и (18).] Заметим, что цель и ограничение С соединены между собой союзом «И», причем, как было указано в разд. 2, «И» соответствует пересечению расплывчатых множеств. Это означает, что в рассматриваемом примере совокупное влияние расплывчатой цели и расплывчатого ограничения С на выбор альтернатив может быть представлено пересечением Функция принадлежности для пересечения задается соотношением

или, в развфнутой форме,

Отметим, что в силу выпуклости расплывчатых множеств множество также является выпуклым.

Обратимся теперь к понятию решения. Интуитивно ясно, что решение — это по существу выбор одной или нескольких из имеющихся альтернатив. Предыдущий пример наводит на мысль, что расплывчатое решение, или просто решение, следует определить как расплывчатое множество в пространстве альтернатив, получающееся в результате пересечения заданных целей и ограничений. Следующее определение уточняет эту мысль.

Определение. Пусть в пространстве альтернатив X заданы расплывчатая цель и расплывчатое ограничение С. Тогда расплывчатое множество образуемое пересечением , называется решением. В символической форме

и соответственно Взаимосвязь между показана на фиг. 1.

В более общем случае, если имеется целей и ограничений, то результирующее решение определяется пересечением всех заданных целей и ограничений, т. е.

и соответственно

Заметим, что в приведенном определении расплывчатого решения цели и ограничения входят в выражение для совершенно одинаковым образом, что и доказывает утверждение о тождественности целей и ограничений в сформулированной нами логической схеме процессов принятия решений в расплывчатых условиях.

Замечание. Определение решения как пересечения целей и ограничений соответствует пониманию союза «И» в «жестком» смысле формулы (4). Если

вопрос об интерпретации союза «И» остается открытым, мы будем говорить, что решение — понимаемое как расплывчатое множество — является слиянием целей и ограничений. Таким образом, «слияние» приобретает смысл «пересечения» или «алгебраического произведения» в зависимости от интерпретации союза «И» в смысле (4) или (8); кроме того, ему может быть приписано какое-либо другое конкретное значение, если возникает необходимость в специальной интерпретации союза «И» [см. замечание после формулы (10)]. Коротко обобщенное определение решения можно сформулировать следующим образом:

Решение = Слияние целей и ограничений.

Фиг. 1.

В качестве иллюстрации к соотношению смотрим простой пример, в котором определяются табл. 1. Образуя конъюнкцию получим таблицу значений для (табл. 2).

Решение в этом случае есть расплывчатое множество

Заметим, что ни одно х из X не принадлежит решению D полностью (т. е. со степенью принадлежности, равной 1). Это, конечно, является следствием того, что заданные цели и ограничения вступают в конфликт друг с другом, исключая тем самым возможность

Таблицы 1 и 2 (см. скан)

существования альтернативы, которая бы полностью им всем удовлетворяла.

Понятие решения как расплывчатого множества в пространстве альтернатив может поначалу показаться несколько искусственным. На самом деле оно совершенно естественно, поскольку расплывчатое решение может рассматриваться как некоторая «инструкция», расплывчатость которой является следствием неточности формулировки поставленных целей и ограничений. Так, в приведенном примере могли бы быть выражены следующими фразами: «х следует взять близким к 5», «х следует взять близким к 3», «х следует взять близким к 4», «х следует взять близким к 6». Тогда решение состоит в том, что «следует взять» «х, близкое к 5». При этом точное значение слова «близко» определяется в каждом случае значением соответствующей функции принадлежности.

Как следует выполнять расплывчатые инструкции типа «х следует взять близким к 5»? Хотя на вопросы такого типа не представляется возможным дать

универсальный ответ, во многих случаях все же разумно выбрать те альтернативы, которые имеют максимальную степень принадлежности к D. В нашем примере этому соответствует .

В общем случае примем, что — расплывчатое решение с функцией принадлежности . Пусть — множество тех точек в X, в которых функция достигает максимума (если он существует). Тогда нерасплывчатое, но, вообще говоря, субнормальное подмножество из определяемое условиями

будет называться оптимальным решением, а каждое из носителя множества — максимиризующим решением. Другими словами, максимизирующее решение — это любая альтернатива в пространстве X, которая максимизирует функцию (скажем, как х = 5 в предыдущем примере). Отметим, что в достаточным условием единственности максимизирующего решения является сильная выпуклость расплывчатого множества D, т. е. выпуклость D и наличие у него унимодальной функции принадлежности.

В определении расплывчатого решения как пересечения или, в более общем смысле, как слияния целей и ограничений подразумевается, что все входящие в цели и ограничения имеют в некотором смысле одинаковую важность. Однако встречаются ситуации, в которых некоторые цели и, возможно, некоторые ограничения являются более важными, чем остальные. В таких случаях решение может быть выражено выпуклой комбинацией целей и ограничений с весовыми коэффициентами, характеризующими относительную важность составляющих элементов. Таким образом, может быть записано в виде

где — функции принадлежности, такие, что

С учетом этого ограничения функции могут быть подобраны так, чтобы передавать относительную важность целей и ограничений . В частности, если нетрудно проверить, что из выражения (22) можно получить любое расплывчатое множество, содержащееся в и включающее . Отметим, что формула (22) напоминает известный способ сведения векторного критерия к скалярному с помощью образования линейной комбинации компонент векторной функции цели.

До сих пор мы ограничивались рассмотрением ситуаций, в которых цели и ограничения являются расплывчатыми множествами в пространстве альтернатив X. Практический интерес представляет более общий случай, когда цели и ограничения — расплывчатые множества в разных пространствах. Пусть — отображение из причем переменной обозначено входное воздействие (причина), а переменной у — соответствующий выход (следствие).

Предположим, что цели заданы как расплывчатые множества в У, в то время как ограничения — расплывчатые множества в пространстве X. Имея расплывчатое множество в У, можно найти расплывчатое множество в X, которое индуцирует в У. Функция принадлежности задается равенством

После этого решение может выражено пересечением множеств . Используя соотношение (23), можно записать в развернутом виде:

где . Таким образом, случай, когда цели и ограничения задаются как расплывчатые множества в разных пространствах, может быть сведен к случаю, когда они задаются в одном и том же пространстве. Соотношение (24) является весьма полезным при анализе многошаговых процессов принятия решений.