Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 5. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ§ 15. Понятие о марковском процессеДо сих пор мы рассматривали главным образом детерминированные задачи исследования операций и методы оптимизации решений, в этих задачах. Начиная с этой главы и до конца книги мы будем заниматься задачами исследования операций в условиях неопределенности. В этой главе мы рассмотрим сравнительно благоприятный случай «доброкачественной» или «стохастической» неопределенности (см. § 5 гл. 2), когда неопределенные факторы, входящие в задачу, представляют собой случайные величины (или случайные функции), вероятностные характеристики которых либо известны, либо могут быть получены из опыта. Мы будем здесь заниматься, главным образом, прямыми задачами исследования операций, т. е. построением математических моделей некоторых случайных явлений, лишь бегло останавливаясь на обратных задачах (оптимизации решений), потому что они, как правило, сложны. В стохастических задачах исследования операций часто затруднительно даже построение математической модели, уже не говоря об оптимизации («не до жиру, быть бы живу»). В большинстве случаев не удается построить простую математическую модель, позволяющую в явном (аналитическом) виде найти интересующие нас величины (показатели эффективности) в зависимости от условий операции а и элементов решения х. Однако в некоторых особых случаях такую математическую модель удается построить. Это — когда исследуемая операция представляет собой (точно или приближенно) так называемый марковский случайный процесс. А что такое «марковский случайный процесс»? Определение этого понятия мы дадим не сразу, сначала поговорим о том, что такое вообще «случайный процесс». Пусть имеется некоторая физическая система S, которая с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем заранее неизвестным, случайным образом. Тогда мы будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс. Под «физической системой» можно понимать <то угодно: техническое устройство, группу таких устройств, предприятие, отрасль промышленности, живой организм, популяцию и т. д. Большинству процессов, протекающих в реальных системах, свойственны, в той или иной мере, черты случайности, неопределенности. Пусть, например, система S — космический корабль, выводимый на заданную орбиту. Процесс вывода неизбежно сопровождается случайными ошибками, отклонениями от заданного режима, на которые приходится вводить коррекцию (если бы не случайные ошибки, коррекция была бы не нужна). Значит, процесс вывода на орбиту — случайный процесс. Теперь спустимся из космоса в околоземную зону. Физическая система S — обыкновенный самолет, совершающий рейс на заданной высоте, по определенному маршруту. Является ли этот процесс случайным? Безусловно, да, так как он неизбежно (в силу турбулентности атмосферы и других факторов) сопровождается случайными возмущениями, колебаниями (в этом не усомнится никто, испытавший на себе так называемую «болтанку» или нарушение графика полетов). Еще пример: система S — техническое устройство, состоящее из ряда узлов, которые время от времени выходят из строя, заменяются или восстанавливаются. Процесс, протекающий в этой системе, безусловно, случаен. А столовая самообслуживания? В ней время от времени могут образовываться и рассасываться очереди, возникать задержки, нехватка подносов и т. д. Вообще, если подумать, труднее привести пример «неслучайного» процесса, чем случайного. Даже процесс хода часов — классический пример точной, строго выверенной работы («работает, как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка). Так что же, выходит, все процессы в природе случайны? Да, строго говоря, это так — Случайные возмущения присущи любому процессу. Но до тех пор, пока эти возмущения несущественны, мало влияют на интересующие нас параметры, мы можем ими пренебречь и рассматривать процесс как детерминированный, неслучайный. Необходимость учета случайностей возникает тогда, когда они прямо касаются нашей заинтересованности. Например, составляя расписание самолетов, можно пренебречь случайными колебаниями самолета вокруг центра массы, а проектируя автопилот — безусловно, нет. Большинство процессов, которые мы изучаем в физике, технике, по существу являются случайными, но только некоторые из них мы изучаем как случайные — когда нам это «позарез» надо.
Рис. 15.1. Теперь, когда нам ясно, что такое «случайный процесс», дадим определение «марковского случайного процесса». Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени Это очень важное определение стоит того, чтобы его растолковать подробнее. Пусть в настоящий момент Так вот, для марковского случайного процесса такое «вероятностное предсказание» оказывается гораздо проще, чем для немарковского. Если процесс — марковский, то предсказывать можно, только учитывая настоящее состояние системы Само состояние Пример марковского процесса: система S — счетчик Гейгера, на который время от времени попадают космические частицы; состояние системы в момент t характеризуется показанием счетчика — числом частиц, пришедших до данного момента. Пусть в момент На практике часто встречаются процессы, которые если не в точности марковские, то могут быть в каком-то приближении рассмотрены как марковские. Пример: система S — группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Состояние системы характеризуется числом самолетов «красных» — Итак, более или менее ясно, что такое марковский случайный процесс. Теперь ошеломим читателя неожиданным парадоксом: в сущности, любой процесс можно рассматривать как марковский, если все параметры из «прошлого», от которых зависит «будущее», включить в «настоящее». Например, пусть речь идет о работе какого-то технического устройства; в какой-то момент Если оба эти параметра (общее время работы и время после последнего ремонта) включить в настоящее состояние системы, то процесс уже можно будет, пожалуй, считать марковским. Однако такое «обогащение настоящего за счет предыстории» далеко не всегда бывает полезно, так как (если число параметров прошлого велико) оно зачастую приводит к «проклятию многомерности», о котором мы уже говорили. Поэтому в дальнейшем, говоря о марковском процессе, мы будем подразумевать его простым, «бесхитростным», с небольшим числом параметров, определяющих «настоящее». На практике марковские процессы в чистом виде обычно не встречаются, но нередко приходится иметь дело с процессами, для которых влиянием «предыстории» можно пренебречь. При изучении таких процессов можно с успехом применять марковские модели. Мы в дальнейшем увидим, как это делается. В исследовании операций большое значение имеют так называемые марковские случайные процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния Пример такого процесса: техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время. Возможные состояния системы можно перечислить:
Переходы системы S из состояния в состояние происходят практически мгновенно, в случайные моменты выхода из строя того или другого узла пли окончания ремонта.
Рис. 15.2. При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — так называемым графом состояний. Состояния системы изображаются прямоугольниками (или кругами, или даже точками), а возможные переходы из состояния в состояние — стрелками, соединяющими состояния. Мы будем изображать состояния прямоугольниками, в которых записаны обозначения состояний: Построим граф состояний для рассмотренного выше примера (см. рис. 15.2). Стрелка, направленная из Внимательный читатель может спросить: а почему нет стрелки, ведущей непосредственно из Если процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским, то для его описания можно построить довольно простую математическую модель. Но перед тем, как ее строить, нам полезно познакомиться с важным понятием теории вероятностей — понятием «потока событий».
|
1 |
Оглавление
|