2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью.

На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; телефон-автомат с одной будкой; ЭВМ, выполняющая заказы пользователей). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место (именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем). Поэтому мы уделим одноканальной СМО с очередью особое внимание.

Пусть имеется одноканальная СМО с очередью, на которую не наложено никаких ограничений (ни по длине очереди, ни по времени ожидания). На эту СМО поступает поток заявок с интенсивностью X; поток обслуживаний имеет интенсивность, обратную среднему времени обслуживания заявки Требуется найти финальные вероятности состояний СМО, а также характеристики ее эффективности:

— среднее число заявок в системе,

— среднее время пребывания заявки в системе,

— среднее число заявок в очереди,

— среднее время пребывания заявки в очереди,

— вероятность того, что канал занят (степень загрузки канала).

Что касается абсолютной пропускной способности А и относительной Q, то вычислять их нет надобности: в силу того, что очередь неограниченна, каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому по той же причина

Рис. 20.2.

Решение. Состояния системы, как и раньше, будем нумеровать по числу заявок, находящихся в СМО:

— канал свободен,

— канал занят (обслуживает заявку), очереди нет,

— канал занят, одна заявка стоит в очереди,

— канал занят, заявок стоят в очереди,

Теоретически число состояний ничем не ограничено (бесконечно). Граф состояний имеет вид, показанный на рис. 20.2. Это — схема гибели и размножения, но с бесконечным числом состояний. По всем стрелкам поток заявок с интенсивностью А переводит систему слева направо, а справа налево — поток обслуживаний с интенсивностью

Прежде всего спросим себя, а существуют ли в этом случае финальные вероятности? Ведь число состояний системы бесконечно, и, в принципе, при очередь может неограниченно возрастать! Да, так оно и есть: финальные вероятности для такой СМО существуют не всегда, а только когда система не перегружена. Можно доказать, что если строго меньше единицы то финальные вероятности существуют, а при очередь при растет неограниченно. Особенно «непонятным» кажется этот факт при Казалось бы, к системе не предъявляется невыполнимых требований: за время обслуживания одной заявки приходит в среднем одна заявка, и все должно быть в порядке, а вот на деле — не так.

При СМО справляется с потоком заявок, только если поток этот — регулярен, и время обслуживания — тоже не случайное, равное интервалу между заявками. В этом «идеальном» случае очереди в СМО вообще не будет, канал будет непрерывно занят и будет регулярно выпускать обслуженные заявки. Но стоит только потоку заявок или потоку обслуживаний стать хотя бы чуточку случайными — и очередь уже будет расти до бесконечности. На практике этого не происходит только потому, что «бесконечное число заявок в очереди» — абстракция. Вот к каким грубым ошибкам может привести замена случайных величин их математическими ожиданиями!

Но вернемся к нашей одноканальной СМО с неограниченной очередью. Строго говоря, формулы для финальных вероятностей в схеме гибели и размножения выводились нами только для случая конечного числа состояний, но позволим себе вольность — воспользуемся ими и для бесконечного числа состояний. Подсчитаем финальные вероятности состояний по формулам (19.8), (19.7). В нашем случае число слагаемых в формуле (19.8) будет бесконечным. Получим выражение для

(20.11)

Ряд в формуле (20.11) представляет собой геометрическую прогрессию. Мы знаем, что при ряд сходится — это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . При ряд расходится (что является косвенным, хотя и не строгим доказательством того, что финальные вероятности состояний существуют только при ). Теперь предположим, что это условие выполнено, и Суммируя прогрессию в (20.11), имеем

откуда

(20.12)

Вероятности найдутся по формулам:

откуда, с учетом (20.12), найдем окончательно:

(20.13)

Как видно, вероятности образуют геометрическую прогрессию со знаменателем . Как это ни странно, максимальная из них — вероятность того, что канал будет вообще свободен. Как бы ни была нагружена система с очередью, если только она вообще справляется с потоком заявок самое вероятное число заявок в системе будет 0.

Найдем среднее число заявок в СМО . Тут придется немного повозиться. Случайная величина Z — число заявок в системе — имеет возможные значения с вероятностями

Ее математическое ожидание равно

(20.14)

(сумма берется не от 0 до а от 1 до так как нулевой член равен нулю).

Подставим в формулу (20.14) выражение для

Теперь вынесем за знак суммы :

Тут мы опять применим «маленькую хитрость»: есть не что иное, как производная пор от выражения значит,

Меняя местами операции дифференцирования и суммирования, получим:

Но сумма в формуле (20.15) есть не что иное, как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем ; эта сумма равна а ее производная . Подставляя это выражение в (20.15), получим:

(20.16)

Ну, а теперь применим формулу Литтла (19.12) и наймем среднее время пребывания заявки в системе:

Найдем среднее число заявок в очереди Будем рассуждать так: число заявок в очереди равно числу заявок в системе минус чйсло заявок, находящихся под обслуживанием. Значит (по правилу сложения математических ожиданий), среднее число заявок в очереди равно среднему числу заявок в системе минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под обслуживанием может быть либо нулем (если канал свободен), либо единицей (если он занят). Математическое ожидание такой случайной величины равно вероятности того, что канал занят (мы ее обозначили ). Очевидно, равно единице минус вероятность того, что канал свободен;

(20.18)

Следовательно, среднее число заявок под обслуживанием равно

(20.19)

отсюда

и окончательно

(20.20)

По формуле Литтла (19.13) найдем среднее время пребывайия заявки в очереди:

Таким образом, все характеристики эффективности СМО найдены.

Предложим читателю самостоятельно решить пример: одноканальная СМО представляет собой железнодорожную сортировочную станцию, на которую поступает простейший поток составов с интенсивностью (состава в час). Обслуживание (расформирование) состава длится случайное (показательное) время со средним значением . В парке прибытия станции имеются два пути, на которых могут ожидать обслуживания прибывающие составы; если оба пути заняты, составы вынуждены ждать на внешних путях. Требуется найти (для предельного, стационарного режима работы станции): среднее число составов связанных со станцией, среднее время Исист пребывания состава при станции (на внутренних путях, на внешних путях и под обслуживанием), среднее число составов, ожидающих очереди на расформирование (все равно, на каких путях), среднее время пребывания состава на очереди. Кроме того, попытайтесь найти среднее число составов, ожидающих расформирования на внешних путях Ьвнеш и среднее время этого ожидания Ивнеш (две последние величины связаны формулой Литтла). Наконец, найдите суммарный суточный штраф Ш, который придется заплатить станции за простои составов на внешних путях, если за один час простоя одного состава станция платит штраф а На всякий случай сообщаем ответы: (состава), (час), (состава), (часа), Ьвиет (состава), (часа). Средний суточный штраф Ш за ожидание составов на внешних путях получим, перемножая среднее число составов, прибывающих на станцию за сутки, среднее время ожидания состава на внешних путях и часовой штраф .