4.2.3. Свойства двумерного z-преобразования

z-Преобразование имеет ряд свойств, полезных для вычисления, решения задач и доказательства теорем. Доказательства очевидны и оставляются в качестве упражнений для интересующегося читателя.

Разделимые сигналы. Если

, то                                                  (4.31а)

.                                                (4.31б)

Таким образом, последовательность  разделима тогда и только тогда, когда последовательность, из которой она получена, разделима. В этом случае  и  являются одномерными -преобразованиями  и  соответственно. Точка  будет областью сходимости последовательности  тогда и только тогда, когда  лежит в области сходимости -преобразования , а  лежит в области сходимости -преобразования .

Линейность. Если

, то                                (4.32a)

                               (4.32б)

для любых комплексных констант  и . В общем случае область сходимости  - пересечение областей сходимости  и , хотя в отдельных случаях она может быть несколько больше. Это свойство полезно при представлении сложной системы в виде параллельного соединения более простых систем или при построении сложной системы из более простых.

Сдвиг. Если

, то                                       (4.33а)

.                                            (4.33б)

Область сходимости  та же, что и область сходимости , за исключением, может быть, точек, для которых  или .

Модуляция. Если

, то                                                        (4.34а)

.                                                        (4.34б)

Область сходимости  имеет такую же форму, как и область для , за исключением того, что ее масштаб изменен в  раз по переменной  и в  раз по переменной .

Дифференцируемость. Если

, то                                                            (4.35а)

.                                                (4.35б)

Области сходимости  и  одинаковы.

Комплексная сопряженность. Если  является комплексным сигналом с -преобразованием , то

,                                                     (4.36)

,                (4.37)

.              (4.38)

Все эти -преобразования имеют ту же область сходимости, что и .

Зеркальное отражение. Если

, то                                                  (4.39)

,                                                   (4.40)

,                                                   (4.41)

.                                               (4.42)

Свертка. Если

,                     (4.43а)

то .                                                                    (4.43б)

Двумерное -преобразование свертки двух последовательностей равно произведению их -преобразований. Область сходимости  является пересечением областей сходимости  и .

Перемножение. -Преобразование произведения двух последовательностей есть комплексная свертка их -преобразований. Так

.                      (4.44)

Теорема Парсеваля. Теорема Парсеваля устанавливает соотношение между скалярными произведениями двух последовательностей и их -преобразованиями

.              (4.45)

Контуры интегралов должны быть замкнутыми, охватывать начало координат соответствующих переменных против часовой стрелки и лежать полностью в области сходимости.

Теоремы о начальных значениях. Если  для  и , то

,                         (4.46)

,                          (4.47)

.                                       (4.48)

Линейное отображение. Предположим, что два двумерных массива  и  связаны соотношением линейного отображения так, что

                    (4.49)

где , ,  и  - целые числа и . Тогда

.                                            (4.50)