Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
4.3.3. Влияние полинома-числителя на устойчивость
В одномерном случае, если
полином-числитель и полином-знаменатель передаточной функции не имеют общих
множителей, устойчивость фильтра зависит только от расположения его полюсов.
Однако в случае двумерных фильтров числитель может влиять на устойчивость фильтра.
В качестве примера рассмотрим следующие три передаточные функции [20]:
, (4.87)
, (4.88)
. (4.89)
Как
было показано в предыдущем разделе, фильтр
нестабилен. Функции
и
имеют такой же
полином-знаменатель, как и
, тем не менее фильтр
стабилен, a
нет. При внимательном
рассмотрении можно видеть, что единственной точкой на биокружности или внутри
ее, в которой полиномы-знаменатели равны нулю, является точка
. Полиномы-числители
функций
и
также равны нулю в
этой точке. Таким образом, как
, так и
обладают несущественной особенностью второго
рода на единичной биокружности. Эта ситуация графически изображена на рис.
4.24. Одно из изображений полюса и одно из изображений нуля на соответствующих
диаграммах корней касаются в точке, находящейся на единичной биокружности.
Интуитивно кажется, что устойчивость фильтра связана со степенью касания. В
настоящее время не имеется общих и прямых средств для определения, является ли
устойчивой передаточная функция, не имеющая полюсов вне единичной биокружности
и имеющая несущественную особенность второго рода на единичной биокружности.
Однако Гудмен [20] установил устойчивость фильтра (4.88) и неустойчивость
фильтра (4.88). Теоремы об устойчивости, сформулированные в предыдущих
разделах, являются просто достаточными условиями устойчивости для случаев
нетривиального полинома в числителе. Они являются необходимыми условиями
устойчивости только в случае отсутствия несущественных особенностей второго
рода на единичной биокружности.
Рис. 4.24. Несущественная
особенность второго рода на единичной биокружности.