5.4. Методы синтеза в пространственной области
В этом разделе мы рассмотрим
несколько способов синтеза двумерных БИХ-фильтров, основанных на минимизации
функционалов ошибки в пространственной области. В общем случае цель состоит в
определении коэффициентов
и
двумерного рекурсивного фильтра так,
чтобы отклик фильтра
на определенный входной сигнал
был хорошей
аппроксимацией некоторого определенного требуемого выходного сигнала
. Обычно в качестве
определенного входного сигнала берется дельта-функция
, так что
является требуемым импульсным
откликом. Однако в том или ином конкретном случае может оказаться удобнее
выбрать в качестве
другой
сигнал, например единичную ступеньку или единичную наклонную плоскость.
Способы синтеза в
пространственной области полезны в тех случаях, когда в конкретном приложении
требуется синтезировать фильтр, отклик которого на определенный входной сигнал
аппроксимирует заданную функцию. В других случаях, когда характеристики фильтра
определены в частотной области, более полезны методы, описанные в разд. 5.5.
При аппроксимации в
пространственной области чаще всего используется среднеквадратичная норма
ошибки, отличающаяся простотой выполнения математических операций, хотя,
безусловно, возможно и применение других норм ошибки. Среднеквадратичная ошибка
обычно
определяется следующим выражением:
. (5.71)
(Мы
предполагаем, что
и
являются
сигналами с вещественными значениями.) Используя теорему Парсеваля, можно
показать, что
совпадает
со среднеквадратичной ошибкой в частотной области
. (5.72)
Важность
этого соотношения состоит в том, что зависимость функции
от параметров фильтра
и
легче описать в частотной
области
, (5.73)
где
(5.74a)
и
. (5.74б)
В большинстве алгоритмов синтеза
предполагается, что опорной областью
,
,
,
и
является первый квадрант. Хотя мы сделаем
аналогичное предположение, ясно, что можно было бы использовать и другие
опорные области. Более серьезное допущение связано с выбором пределов
суммирования в выражении (5.71). Чтобы суммирование можно было осуществить
практически, оно должно выполняться в конечных пределах. Однако если область
суммирования достаточно велика, то ошибки вне этой области (для устойчивого
фильтра) будут незначительны.
Теоретический минимум ошибки
можно найти,
приравнивая нулю ее частные производные по параметрам
. Прежде всего определим сигнал
ошибки:
. (5.75)
Тогда
и,
следовательно, (5.76)
. (5.77а)
Аналогично
. (5.77б)
Частные
производные в правой части уравнений (5.77) можно получить следующим образом.
Предположив, что все рассматриваемые сигналы и коэффициенты имеют опорные
области, ограниченные первым квадрантом, можно выразить
с помощью рекурсивного
соотношения
(5.78)
[приняв
]. Тогда
можно непосредственно получить [10] рекурсивные соотношения для
и
:
, (5.79a)
. (5.79б)
Эти
рекурсивные вычисления начинаются с нулевыми начальными условиями. Кроме того,
можно показать, что частные производные связаны друг с другом соотношениями
Таким
образом, нужные частные производные можно численно определить с помощью двух
рекурсивных соотношений.
Аналитическое решение уравнений
для нахождения значений коэффициентов
, минимизирующих
, в общем случае невозможно.
Поэтому мы вынуждены рассмотреть алгоритмические методы минимизации
. В последующих
разделах детализируются три алгоритма, используемые при проектировании
двумерных БИХ-фильтров с помощью критерия ошибки в пространственной области.