§ 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного

Пусть  - непрерывная функция комплексного , определенная в области  и  - гладкая кривая, лежащая в , с началом в точке  и концом в точке  (рис. 137), заданная уравнением

или, что все равно, двумя уравнениями

       .                (1)

Рис. 137

Как всегда, направление на  соответствует изменению параметра  от  до  .

Интеграл от функции  вдоль кривой  определяется следующим образом:

.

Если учесть, что  и , то равенство (2) можно коротко записать так:

.             (3)

Таким образом, из (2) видно, что интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов, и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.

Интеграл (2) существует для любой непрерывной функции  (в этом случае функции  и  также непрерывны) и любой гладкой кривой  (т. е. когда , ) непрерывны и ).

Если кривая  кусочно-гладкая и состоит из гладких ориентированных кусков , то по определению считаем

.                   (4)

На основании свойств криволинейного интеграла легко получаем

1)

,

где  та же кривая, что и , но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление», § 7.4).

2)

,

где  - постоянные числа.

3)

Если  при , то

,

где  - длина .

В самом деле, на основании свойства обыкновенного интеграла имеем

.

Пример 1.

,                       (5)

где  есть окружность с центром в точке , ориентированная против часовой стрелки.

В самом деле, уравнение  можно записать в форме

  ,

где  - радиус окружности . Поэтому

.

Пример 2. При целом

,                              (6)

где  - снова окружность с центром в точке , ориентированная против часовой стрелки. В самом деле,

   ,

потому что  для любых целых .

Теорема 1 (Коши). Если функция  аналитическая на односвязной области , то интеграл от  по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру , принадлежащему , равен нулю:

.

Доказательство. Так как  - аналитическая на  функция, то функции  и  непрерывно дифференцируемы, и выполняются условия Коши - Римана:

, ,                        (7)

в силу которых выражения  и  есть полные дифференциалы некоторых функций. Поэтому криволинейные интегралы по замкнутому контуру  от этих выражений равны нулю (см. § 3.4 и 3.5). Но тогда, согласно равенству (2),

.

Пример 3.

 ,

,  ,

, ,

, ,

где  - произвольный замкнутый кусочно-гладкий контур, потому что подынтегральные функции аналитические на плоскости . Ведь они имеют непрерывную производную во всех точках  комплексной плоскости.

Рис. 138

Рис. 139

Как следствие из теоремы 1 получаем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть область  комплексной плоскости ограничена сложным положительно ориентированным кусочно-гладким контуром , т. е. при обходе по  точки  остаются слева. Тогда для функции , аналитической на , имеет место равенство

.

Поясним эту теорему. На рис. 138 изображена двусвязная область  с кусочно-гладким контуром , ориентированным положительно.

Соединим контуры  и  гладким куском , как на рис. 139. Ориентируем  двумя противоположными способами: . В результате получим новую область  односвязную, ограниченную ориентированным контуром . По теореме 1

.

Но

,

поэтому

.

Каждый из интегралов ,  при этом может и не равняться нулю.

Замечание 1. Для краткости мы будем позволять себе писать «контур» вместо «замкнутый непрерывный кусочно-гладкий контур».

Из теоремы 2 как следствие вытекает

Теорема 3. Пусть область  ограничена внешним контуром , ориентированным против часовой стрелки, и внутренними контурами , ориентированными тоже против часовой стрелки (как на рис. 140, где ), и пусть на  задана аналитическая функция .

Рис. 140

Тогда имеет место равенство

.        (8)

В самом деле, если считать, что  - тот же контур, что и , но ориентированный по часовой стрелке, то по теореме 2

,

откуда следует (8), потому что

.

Отметим, что если в теореме 3 , то

             (9)

(рис. 141).

Рис. 141

Замечание 2. Из равенства (9), т. е. из теоремы 3 при  следует, что равенства (5) и (6) остаются верными, если в них окружность  с центром в точке  заменить на любой замкнутый кусочно-гладкий контур  содержащий внутри точку  и ориентированный против часовой стрелки:

,                      (10)

       .                    (11)

Формулы (10) и (11) являются основными в этой теории. Именно к ним, как мы увидим, обычно сводится вычисление криволинейных интегралов от аналитических функций (см. далее § 6.10 и 6.11).