§ 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного
Пусть
- непрерывная функция комплексного
,
определенная в области
и
- гладкая кривая, лежащая в
, с началом в точке
и концом
в точке
(рис.
137), заданная уравнением
или,
что все равно, двумя уравнениями
. (1)
Рис. 137
Как всегда, направление на
соответствует
изменению параметра
от
до
.
Интеграл от функции
вдоль кривой
определяется
следующим образом:
.
Если учесть, что
и
, то равенство (2)
можно коротко записать так:
. (3)
Таким образом, из (2) видно, что
интеграл по комплексному переменному есть сумма двух криволинейных интегралов,
и его вычисление сводится к вычислению обыкновенных интегралов.
Интеграл (2) существует для любой
непрерывной функции
(в этом случае функции
и
также непрерывны)
и любой гладкой кривой
(т. е. когда
,
) непрерывны и
).
Если кривая
кусочно-гладкая и состоит
из гладких ориентированных кусков
, то по определению считаем
. (4)
На основании свойств
криволинейного интеграла легко получаем
1)
,
где
та же
кривая, что и
,
но ориентированная противоположно (см. нашу книгу «Высшая математика. Дифференциальное
и интегральное исчисление», § 7.4).
2)
,
где
-
постоянные числа.
3)
Если
при
, то
,
где
- длина
.
В самом деле, на основании
свойства обыкновенного интеграла имеем
.
Пример 1.
, (5)
где
есть
окружность с центром в точке
, ориентированная против часовой
стрелки.
В самом деле, уравнение
можно записать в
форме
,
где
- радиус
окружности
.
Поэтому
.
Пример 2. При целом
, (6)
где
- снова
окружность с центром в точке
, ориентированная против часовой
стрелки. В самом деле,
,
потому что
для любых целых
.
Теорема 1 (Коши). Если функция
аналитическая
на односвязной области
, то интеграл от
по любому
кусочно-гладкому замкнутому контуру
, принадлежащему
, равен нулю:
.
Доказательство. Так как
- аналитическая
на
функция,
то функции
и
непрерывно
дифференцируемы, и выполняются условия Коши - Римана:
,
, (7)
в
силу которых выражения
и
есть полные дифференциалы некоторых
функций. Поэтому криволинейные интегралы по замкнутому контуру
от этих выражений
равны нулю (см. § 3.4 и 3.5). Но тогда, согласно равенству (2),
.
Пример 3.
,
,
,
,
,
,
,
где
- произвольный замкнутый
кусочно-гладкий контур, потому что подынтегральные функции аналитические на
плоскости
.
Ведь они имеют непрерывную производную во всех точках
комплексной плоскости.
Рис. 138
Рис. 139
Как следствие из теоремы 1
получаем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть область
комплексной
плоскости ограничена сложным положительно ориентированным
кусочно-гладким контуром
, т. е. при обходе по
точки
остаются слева.
Тогда для функции
, аналитической на
, имеет место
равенство
.
Поясним эту теорему. На рис. 138
изображена двусвязная область
с кусочно-гладким контуром
, ориентированным
положительно.
Соединим контуры
и
гладким куском
, как на рис. 139.
Ориентируем
двумя
противоположными способами:
. В результате получим новую область
односвязную,
ограниченную ориентированным контуром
. По теореме 1
.
Но
,
поэтому
.
Каждый из интегралов
,
при этом может и
не равняться нулю.
Замечание 1. Для краткости мы
будем позволять себе писать «контур» вместо «замкнутый непрерывный кусочно-гладкий
контур».
Из теоремы 2 как следствие
вытекает
Теорема 3. Пусть область
ограничена
внешним контуром
, ориентированным против часовой
стрелки, и внутренними контурами
, ориентированными тоже против
часовой стрелки (как на рис. 140, где
), и пусть на
задана
аналитическая функция
.
Рис. 140
Тогда имеет место равенство
. (8)
В самом деле, если считать, что
- тот же контур,
что и
,
но ориентированный по часовой стрелке, то по теореме 2
,
откуда
следует (8), потому что
.
Отметим, что если в теореме 3
, то
(9)
(рис.
141).
Рис. 141
Замечание 2. Из равенства (9), т.
е. из теоремы 3 при
следует, что равенства (5) и (6)
остаются верными, если в них окружность
с центром в точке
заменить на любой замкнутый
кусочно-гладкий контур
содержащий внутри точку
и ориентированный
против часовой стрелки:
, (10)
. (11)
Формулы (10) и (11) являются основными
в этой теории. Именно к ним, как мы увидим, обычно сводится вычисление
криволинейных интегралов от аналитических функций (см. далее § 6.10 и 6.11).