§ 1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка

Пусть задано дифференциальное уравнение

                                                                       (1)

Будем предполагать, что функция  в окрестности точки  удовлетворяет условиям теоремы существования. По теореме существования имеются отрезок  и определенное на нем единственное решение  уравнение (1), удовлетворяющее условию .

Для числа  теорема дает оценку сверху

.

Метод Эйлера дает возможность приближенно выразить указанную функцию теоретически с любой наперед заданной точностью.

Пусть требуется вычислить приближенно , где для определенности . Разделим  на  равных частей точками . Длину отрезка , будем называть шагом вычисления. Приближенные значения решения в точках , обозначим через .

На  вместо уравнения (1) будем рассматривать уравнение с начальным условием (задача Коши)

.

Решение этого уравнения имеет вид

.                                                  (2)

Эту функцию (линейную) мы и примем за приближенное решение уравнения (1) на отрезке . С геометрической точки зрения это значит, что мы искомую интегральную кривую заменили отрезком касательной к интегральной кривой в точке .

Из формулы (2) получаем

.

Дальше рассуждаем по индукции. Если приближенные значения решения  известны, то на  рассматриваем вместо уравнения (1) уравнение

.

Решение этого уравнения

                    (3)

принимаем за приближенное решение уравнения (1) на .

Полагая в (3) , получим

.              (4)

Формула (4) и определяет метод Эйлера.

Функция , определяемая на  с помощью равенства (3), называется «ломаной Эйлера» (рис. 10). Можно доказать, что при условиях теоремы существования последовательность ломаных Эйлера  равномерно сходится на  к истинному решению задачи при .

Рис. 10