§ 2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии

Пусть функция  непрерывна на открытом круге

,

однако не ограничена на нем. При этом мы предполагаем, что при приближении к любым точкам окружности  функция  стремится к бесконечности.

Тогда для любого положительного  интеграл

существует, но интеграл от  на  в обычном (римановом) смысле не существует. Мы ведь знаем, что из существования интеграла по  в римановском смысле должна следовать ограниченность  на .

Однако может случиться, что существует предел

.

Предел  называют интегралом от  по  в несобственном смысле и обозначают как обычный риманов интеграл:

.

С этой ситуацией мы столкнулись при рассмотрении примера 1 в §2.11. Подынтегральная функция в приведенном там интеграле непрерывна на открытом круге , но неограниченна на .

Площадь полусферы , соответствующей , нам пришлось определить при помощи не простого риманова интеграла, а несобственного интеграла

.

Мы рассмотрели пример несобственного интеграла, когда подынтегральная функция не ограничена вдоль линии. В предыдущем параграфе были приведены примеры несобственных интегралов, когда подынтегральная функция неограниченна в окрестности точки.