§ 7.3. Приложения операционного исчисления

7.3.1. Операторное уравнение.

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

.                     (1)

Требуется найти решение уравнения (1) для  при начальных условиях

, .            (2)

Пусть  является решением (1), удовлетворяющее начальным условиям (2). Тогда после подстановки этой функции в (1) мы получим тождество. Значит, функция, стоящая в левой части (1), и функция  имеют одно и то же -изображение:

.

В силу следствия 1 § 7.2

.

Поэтому, используя свойство линейности изображения, получаем

;

.

Для краткости записи обозначим , . Тогда

.       (3)

Уравнение (3) будем называть вспомогательным уравнением или изображающим уравнением, или операторным уравнением.

Отметим, что коэффициент при  в (3) получается из левой части (1) формальной заменой производных  на степени . Обозначим этот коэффициент через

.

Легко видеть, что этот коэффициент является левой частью характеристического уравнения для дифференциального уравнения (1) (см. (2) § 1.16). Тогда изображение решения находим в виде

,     (4)

где

.

Если начальные условия нулевые, т. е. , то формула (4) запишется

.                       (4')

Если теперь по изображению (4) или (4') мы найдем оригинал, то в силу теоремы единственности это и будет искомое решение .

Пример 1. Решить уравнение

, .

По формуле (4') имеем

,

так как . Разложим изображение на простейшие дроби

.

Отсюда

.

Мы получили решение  только для . Легко проверить, что оно удовлетворяет нашему уравнению и при . Впрочем, этот факт следует из общих соображений, на которых мы не останавливаемся. Это замечание относится и к примерам 2-4.

Можно также воспользоваться теоремой 12 § 7.2 , , ;  - простые нули многочлена :

.

Пример 2. , , .

Составим вспомогательное уравнение:

,

.

Отсюда

.

Многочлен  имеет простые нули , . На основании теоремы 12 § 7.2  имеем:

, , ,

, ,

, ,

.

При решении дифференциального уравнения иногда удобно использование формулы Дюамеля (см. (15) § 7.2).

Будем рассматривать уравнение (1) при нулевых начальных условиях: . К этому случаю всегда можно свести задачу заменой искомой функции по формуле

.

Допустим, известно решение уравнения (1) при правой части, равной единице, и нулевых начальных условиях. Операторное уравнение для данной задачи имеет вид

,                               (5)

где  - изображение решения  указанной задачи. Из равенства (4') и (5) находим

.                      (6)

Согласно формуле Дюамеля

или учитывая, что , получаем

.

Отсюда решение уравнения (1) при нулевых начальных условиях будет иметь вид

,        (7)

где  - решение уравнения (1) при  и нулевых начальных условиях.

Пример 3. Решить уравнение

, .

Решим вначале задачу Коши для уравнения

, .

Составим операторное уравнение:

, .

Отсюда

.

Замечание. Так как правая часть уравнения  имеет специальный вид, то решение этого уравнения можно проводить и обычным образом (см. § 1.18).

По формуле (7)

.