§ 3.5. ОБНАРУЖЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ

В радиоастрономии, радиоразведке, пассивной локации, биоэлектронике информация об источнике излучения либо каком-то явлении нередко связана с наличием или отсутствием в наблюдаемом колебании реализации некоторого полезного ожидаемого случайного процесса. При этом решают задачи обнаружения случайного сигнала, описываемого на языке n-мерных ПВ или функционала ПВ.

Пусть в наблюдаемом колебании помимо белого шума может содержаться реализация некоррелированного с нормального процесса с нулевым средним и корреляционной функцией .Тогда при истинности гипотезы процесс как сумма некоррелированных нормальных процессов будет также нормальным с корреляционной функцией равной сумме корреляционных функций и :

Функционал ПВ при гипотезе определится формулой (1.8):

(3.32)

где — обратная корреляционная функция , получающаяся решением интегрального уравнения (1.7), имеющего с учетом (3.31) вид

(3.33)

Разделив выражение (3.32) на функционал ПВ при гипотезе [см. равенство (1.9)], после логарифмирования ОП и суммирования получившихся интегралов придем к правилу обнаружения случайного сигнала

(3.34)

в котором — порог, зависящий от избранного критерия, а

Соотношение (3.35) определяет некоторое линейное преобразование , осуществимое, например, с помощью линейного фильтра (в общем случае с переменными параметрами).

Рис.3.12.

Поэтому обнаружитель, реализующий правило (3.34), можно построить по схеме, показанной на рис. 3.12 и повторяющей структуру корреляционного приемника (см. рис. 3.1) с той лишь разницей, что опорный сигнал теперь формируется не автономно, а из самого наблюдаемого колебания , пропускаемого через линейный фильтр Ф.

Если процесс стационарен и достаточно широкополосен, т. е. его время корреляции тк подчиняется условию , то можно, не внеся существенной погрешности, считать равной нулю за пределами интегрирования в (3.33) при любых . Тогда пределы интегрирования в (3.33) можно заменить бесконечными, превратив интеграл в обычную свертку. После этого переход к преобразованиям Фурье, согласно теореме о свертке, приведет к равенству в котором спектральная плотность мощности случайного сигнала , так что преобразование обратной корреляционной функции . То же рассуждение позволяет записать (3.35) в виде свертки:

где — импульсная характеристика фильтра на рис. 3.12, имеющего в данном случае постоянные параметры. Коэффициент передачи этого фильтра

Будем полагать, что спектр мощности сигнала допускает прямоугольную аппроксимацию

где — средняя мощность и ширина спектра сигнала. Тогда фильтр Ф на рис. 3.12 оказывается идеальным фильтром нижних частот с полосой пропускания и усилением в полосе пропускания . Последнюю константу можно учесть непосредственно в пороге , считая коэффициент передачи ФНЧ равным

Рис.3.13

Если вернуться к выражению (3.34) и в корреляции колебания с реакцией фильтра (3.36) на положить нетрудно заметить, что и есть функции с неперекрывающимися спектрами: спектр первой целиком сосречоточен в полосе , второй — за ее пределами ( то, что не пропускается ФНЧ). Поэтому и ортогональны и их корреляция равна нулю. Таким образом,

(3.37)

и структура рис. 3.12 преобразуется в энергетический приемник (рис. 3.13), в котором решающей статистикой является энергия принятой реализации, пропущенной через ФНЧ.

Выражения для вероятностей ошибок энергетического приемника легче всего получить, воспользовавшись теоремой Парсеваля для разложения в ряд Котельникова. Так как имеет отличный от нуля спектр только в пределах полосы , то интеграл в (3.37) можно заменить суммой отсчетов на интервале , взятых через :

(3.38)

где множитель перед суммой опущен, так как он может быть учтен в пороговом значении. Значения могут быть найдены через интегральные -распределения с степенями свободы. Однако при соблюдении величина как сумма многих независимых слагаемых может считаться нормальной и для вычисления достаточно определить средние и дисперсии при гипотезах и . Нетрудно видеть, что , где дисперсия (средняя мощность) на выходе ФНЧ. При гипотезе , а при гипотезе , — средняя мощность помехи в полосе частот .

Аналогично, в силу независимости слагаемых (3.38) дисперсия , где последний сомножитель есть дисперсия квадрата гауссовской случайной величины с нулевым средним. Из теории вероятностей известно, что для нормальных величин и, следовательно, при гипотезе , а при гипотезе . Интегрируя нормальные ПВ и от до и от до соответственно, нетрудно прийти к выражениям

в которых .

Как видно, при вероятность пропуска в энергетическом приемнике убывает ростом числа независимых отсчетов на интервале наблюдения ,и с увеличением отношения мощности сигнала к мощности помехи в полосе .