§ 6.4. ВИДЫ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ

Сигналы с непрерывной частотной модуляцией. Пусть в течение длительности сигнала мгновенное значение частоты его заполнения линейно нарастает от до , где — центральная частота; - девиация частоты сигнала. Принимая за точку момент, соответствующий середине сигнала, запишем выражения для его частоты и фазы при :

Рис.6.3.

где значение фазы без ограничения общности принято равным нулю. Радиосигнал с угловой модуляцией вида (6.5) называют линейно частотно-модулирован-ным импульсом (ЛЧМ-импульсом). Примерный вид ЛЧМ-им-пульса с прямоугольной огибающей, а также законы изменения его частоты и фазы показаны на рис. 6.3, а — в.

Второе выражений (6.5) позволяет записать прямоугольный ЛЧМ-импульс амплитуды А в виде следующей функции времени:

или

Следовательно, комплексная огибающая прямоугольного ЛЧМ-импульса

Из теории частотной модуляции известно, что, когда девиация частоты многократно превосходит ширину спектра модулирующего сообщения, спектр модулированного сигнала занимает полосу частот, приближенно равную девиации.

В рассматриваемом случае частота модулируется по закону линейно нарастающего в течение интервала импульса, и в первом приближении за ширину спектра модулирующего сообщения можно принять величину , тогда как полный диапазон изменений частоты равен . Следовательно, при девиации , много большей , ширина спектра ЛЧМ-импульса близка к , база и сигнал данного типа действительно относятся к категории сложных.

Так как огибающая сигнала (6.6) постоянна при , то его энергия

Кроме того, при вычислении корреляционной функции комплексной огибающей учтем, что для любых из интервала произведение отлично от нуля лишь при — . Поэтому при интегрирование в (6.4) после подстановки туда (6.7) нужно выполнять по отрезку :

Раскрыв скобки в показателе экспоненты, после замены переменных получим

Воспользовавшись очевидным из (6.4) равенством и тем, что при , придем к выражению, справедливому для любых :

Точная формула (6.8) в случае больших девиаций , т. е. больших баз , допускает наглядное приближение.

Действительно, когда произведение достаточно велико, абсолютное значение знаменателя дроби в (6.8) становится большим уже при малых , т. е. затухает до пренебрежимого уровня уже при . Поэтому в той области значений , где с уровнем приходится считаться, сомножитель в аргументе синуса практически равен единице. Это и приводит к аппроксимации

показанной на рис. 6.4. Легко видеть, что при оценке длительности тк корреляционной функции (6.9) расстоянием между ее ближайшими к точке нулями имеет место соотношение , обнаруживающее эффект сжатия в СФ ЛЧМ-импульсов с большими значениями (см. рис. 6.2). Форма реакции СФ на радиоимпульс (6.6), описываемая (6.9), подтверждает изложенное ранее относительно ширины спектра ЛЧМ-импульса, поскольку радиоимпульс с огибающей [см. (6.9)] имеет прямоугольный спектр с шириной, обратной расстоянию первого нуля функции (6.9) от начала координат: . Но так как спектр сигнала на выходе СФ повторяет по форме квадрат амплитудно-частотного спектра входного сигнала, то амплитудно-частотный спектр ЛЧМ-импульса приближенно [в силу нестрогости соотношения (6.9)] можно полагать равномерным в диапазоне и равным нулю вне этого отрезка.

Технические средства, применяемые для формирования и согласованной фильтрации ЛЧМ-сигналов, разнообразны. Для импульсов длительностью вплоть до десятков — сотен микросекунд и девиациями до нескольких десятков мегагерц наиболее характерно построение СФ с использованием дисперсионных линий задержки на поверхностных акустических волнах. Групповое время задержки , в дисперсионных линиях зависит от частоты , и если в пределах полосы частот ЛЧМ-сигнала (6.6) функция линейно убывает с угловым (рис. 6.5), то подобный четырехполюсник, последовательно соединенный с неискажающим полосовым фильтром с полосой , образует СФ для сигнала (6.6).

Рис.6.4

Рис.6.5

Объяснение этого факта базируется на осмыслении физики работы любого СФ, функции которого сводятся к накоплению (запоминанию и взвешенному суммированию) последовательно поступающих на вход фрагментов сигнала. ЛЧМ-импульса (6.6) начинается с низкочастотных колебаний близка к , которые в дисперсионной линии будут задержаны на максимальное время порядка (рис. 6.5). Идущий затем отрезок сигнала с более высокой частотой запоздает на меньшее время так, чтобы к моменту «догнать» предшествовавший и т. д. Заключительный отрезок сигнала задержится только на время , догнав все предыдущие. Поэтому в момент произойдет синфазное сложение всех собравшихся вместе отрезков сигнала, дающее основной пик отклика на рис. 6.4. Результатом же интерференции отрезков в другие моменты времени будут изменения комплексной огибающей на выходе по закону, воспроизведенному на рис. 6.4.

Отметим, что, хотя за длительность сжатого ЛЧМ-импульса была принята ширина основного пика (6.9), выбросы за пределами интервала (боковые лепестки) достигают значительного уровня, спадающего в обратной пропорции от т. Первый — максимальный по уровню — боковой лепесток при лишь в раза (на 13 дБ) ниже уровня основного пика. Столь заметные боковые лепестки могут существенно повысить риск аномальных ошибок при измерении времени запаздывания ЛЧМ-сигнала и затруднить разрешение импульсов, имеющих разнос по времени, близкий к .

На рис. 6.6, а сплошными и пунктирными линиями условно обозначены соответственно сильный и слабый ЛЧМ-импульсы, сдвинутые друг относительно друга по времени на . В этом случае из-за интерференции откликов СФ на перекрывающиеся ЛЧМ-сигналы боковые лепестки сильного сигнала на выходе фильтра (сплошные линии на рис. 6.6, б) могут замаскировать основной пик слабого выходного импульса (пунктир на рис. 6.6,б).

На практике часто важно не пропустить именно полезный слабый радиосигнал на фоне близко с ним расположенного мешающего сильного.

Рис. 6.6

Так, в радиолокации отраженный лоцируемой целью импульс нередко теряется в более сильных отражениях от близких посторонних объектов (построек, морской поверхности, элементов рельефа, специально устанавливаемых ложных целей); в дальней радионавигации используемый для местоопределения слабый сигнал поверхностной волны маскируется накладывающимся на него более сильным, отраженным ионосферой, и т. д. Поэтому так актуальны попытки избежать осложнений, связанных с наличием у ФН ЛЧМ-импульсов больших боковых лепестков. Определенного снижения уровня последних можно добиться, применяя ЛЧМ-сигналы с непрямоугольными, гладкими (типа колоколообразной) огибающими, переходя к нелинейной частотной модуляции либо заменяя согласованную фильтрацию специальной весовой обработкой.

Дискретные и фазоманипулированные сигналы. Обратимся к дискретным сигналам, т. е. к последовательностям регулярно повторяющихся радиоимпульсов одинаковой формы и центральной частоты, отличающихся друг от друга лишь значениями комплексных амплитуд. Дискретные сигналы, содержащие конечное число импульсов N, уже анализировались в § 3.4, где были названы пакетами. Модель -импульсного дискретного сигнала может быть записана в виде[ср.с(3.25),(3.26)]

где — аналитический сигнал, реальная часть которого описывает отдельный (одиночный) импульс пакета; комплексная огибающая одиночного импульса , учитывающая форму его действительной огибающей , а также закон внутриимпульсной угловой модуляции — период повторения импульсов в пакете; — комплексная амплитуда -го импульса , модуль и аргумент которой задают действительную амплитуду и начальную фазу -го импульса пакета.

Рис.6.7

Набор устанавливающий закон изменения амплитуд и фаз дискретного сигнала от импульса к импульсу, называют кодовой последовательностью или кодом. Пример дискретного сигнала длиной (числом импульсов) для прямоугольного одиночного импульса и кода приведен на рис. 6.7.

Вычислим корреляционную функцию комплексной огибающей

дискретного сигнала (6.10). Подставив выражение (6.11) в (6.4), найдем

где, - энергия всего пакета; - энергия одиночного импульса . Введя корреляционную функцию комплексной огибающей одиночного импульса

перепишем (6.12) в виде

условившись считать нулевыми те в последней сумме, индексы которых отрицательны или превышают N—1. Заменив индекс суммирования в (6.14) на , получим .

Введем корреляционную функцию кодовой последовательности где по-прежнему все , с индексами вне диапазона считаются нулевыми. Тогда соотношение (6.14) можно записать в виде

При для всех и , поэтому подробная расшифровка записи (6.15) такова:

Последнее из соотношений (6.17), обобщающее верхнее на случай произвольного целого , следует из (6.15) после замены индекса суммирования i на .

Название отражает смысл этой величины, показывающей, насколько близки, коррелированы между собой кодовая последовательность и ее копия, сдвинутая на позиций. Для вычисления, например, нужно под исходной кодовой последовательностью записать ее сдвинутую на две позиции вправо и комплексно-сопряженную копию:

и, перемножив попарно стоящие в каждом столбце этой записи элементы, просуммировать полученные произведения, после чего умножить результат на нормирующую константу . При прямом вычислении сдвинутая копия кода должна быть смещена относительно исходной также на две позиции, но влево:

Ясно, что при и [см. (6.17)] потому, что сдвинутая на такое число позиций кодовая последовательность не перекроется с исходной. Окончательно для корреляционной функции (6.16) получим

Отсюда видно, что корреляционная функция комплексной огибающей дискретного сигнала (6.10) есть сумма повторяющихся с интервалом корреляционных функций комплексной огибающей одиночного импульса, взвешенных корреляционной функцией кодовой последовательности .

Так как воспроизводит комплексную огибающую одиночного импульса , пропущенного через согласованный с ним фильтр, то длительность не превышает удвоенной длительности одиночного импульса . Таким образом, корреляционная функция (6.18) комплексной огибающей пакета (6.10) представляет собой пакет из повторяющихся с интервалом импульсов вида с длительностью не более , причем комплексная амплитуда -го импульса этого нового пакета равна значению корреляционной функции кодовой последовательности дискретного сигнала (6.10) при сдвиге.

Нетрудно понять, какое необходимое и достаточное условие должно быть выполнено для того, чтобы дискретный сигнал (6.10) сжимался в СФ. Если бы кодовая последовательность была некоррелирована со всеми своими сдвигами , то в сумме (6.18) осталось бы единственное ненулевое слагаемое с и корреляционная функция комплексной огибающей сигнала (6.10) имела бы вид одиночного импульса длительности . Отсчитывая эту длительность по некоторому условному ненулевому уровню, можно в первом приближении положить . В то же время длительность сигнала (6.10) , так что при выполнении перечисленных требований к произошло бы сжатие сигнала в N раз. Так как ширина спектра сжатого сигнала, а следовательно, и самого пакета не меньше , то база дискретного сигнала (6.10) длительности , т. е. не меньше длины кодовой последовательности .

Так как первый и последний импульсы в (6.10) по определению имеют ненулевые амплитуды , то и обращение в нуль при всех ненулевых заведомо невозможно. Поэтому функция (6.18) кроме основного пика будет иметь и боковые, уровень которых определяется значениями при . Для того чтобы сделать максимальный боковой лепесток приемлемо малым, необходимо добиться минимума максимального по всем ненулевым уровня корреляции кодовой последовательности со своими сдвигами: .

На практике элементы кодовых последовательностей выбирают не произвольно, а из некоторого заранее оговоренного множества (алфавита кода) по возможности небольшого объема. Подобное ограничение, как правило, отражает желание максимально упростить формирование и обработку дискретных сигналов. По этим соображениям предпочтение нередко отдается двоичным фаз о манипулированным сигналам, т. е. дискретным сигналам с действительными элементами кода, принадлежащими двоичному алфавиту . При амплитудная модуляция импульсов в (6.10) отсутствует, так что энергия двоичного ФМ-сигнала равномерно рассредоточена в пределах его длительности, что обычно и требуется от сложного сигнала (см. § 6.3). В то же время начальные фазы радиоимпульсов такого сигнала могут принимать только два значения: 0 и , что, в свою очередь, заметно упрощает и удешевляет соответствующие схемотехнические средства.

При , вследствие чего максимальный боковой лепесток функции [наибольший уровень при ] не может быть меньше . Таким образом, среди двоичных -элементных кодовых последовательностей с , лучшими следует считать те, для которых .

Двоичные последовательности с указанным свойством, известные под названием кодов Баркера, существуют только при . Рассмотрим в качестве примера код Баркера длины . Для него , т. е. дискретный сигнал, манипулированный таким кодом, содержит семь радиоимпульсов с начальными фазами . Такой сигнал и его комплексная огибающая показаны на рис. 6.8, а, б, причем на рис. 6.8, б знаки и отвечают комплексным амплитудам и .

Рис. 6.8

Следуя данному ранее рецепту вычисления , составим таблицу, в которой под кодом Баркера запишем его сдвиги на одну, две, три, четыре, пять, шесть позиций (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Перемножая элементы исходного кода (строки с ) со стоящими под ними элементами -го сдвига кода и складывая произведения, получим числа, стоящие в последнем столбце таблицы. После деления на это и будут значения .

Рис.6.9

Обращаясь к (6.18) и имея в виду, что корреляционная функция одиночного прямоугольного видеоимпульса длительности есть равнобедренный треугольник с основанием , приходим к выводу, что для двоичного ФМ-сигнала на основе кода Баркера комплексная огибающая сжатого сигнала имеет вид основного треугольного пика и «отрицательных» боковых лепестков той же формы, в семь раз меньшей высоты с вершинами в точках (рис. 6.8,в).

Одна из возможных структур СФ для двоичного ФМ-сигнала показана на рис. 6.9, а (для примера взят прежний семиэлементный код Баркера). Сигнал проходит через N—1 последовательных элементов задержки на время , выходы которых подключены к сумматору с весами или , взятыми в порядке, зеркальном по отношению к порядку следования в коде.

В результате на N входах сумматора при поступлении на вход СФ сигнала, показанного на рис. 6.9, б, появляются его сдвиги, причем те из них, которые умножаются на коэффициент , меняют начальные фазы импульсов на (рис. 6.9, в, где нумерация эпюр соответствует номерам входов сумматора на рис.6.9, а). В результате с выхода сумматора снимается колебание (рис. 6.9, г), каждый прямоугольный импульс которого после обработки в согласованном с одиночным импульсом фильтре СФОИ принимает вид треугольника (рис. 6.9, д). Получаемый в итоге сигнал имеет огибающую вида (ср. с рис. 6.8, в).

Несуществование кодов Баркера для стимулировало поиски двоичных ФМ-сигналов, обладающих достаточно малым (хотя и большим уровнем бокового лепестка при больших длинах N. Таких сигналов известно сейчас довольно много, хотя вопрос об их оптимальности и существовании лучших кодов не решен. К числу последовательностей с особенно интересными корреляционными свойствами относятся двоичные М-последовательности, существующие для любых длин вида ( — натуральное число). Чтобы проиллюстрировать достоинства этих последовательностей, введем еще одно общее понятие.

Если любую последовательность длины N сдвигать на позиций не так, как прежде, а циклически, т. е.

то корреляция кода с его циклическим сдвигом будет определяться несколько иначе, чем в (6.17): в соответствующей сумме при любом всегда будет точно N слагаемых. Корреляционные свойства последовательностей при циклических сдвигах характеризуют периодической корреляционной функцией

где обозначение символизирует вычитание по модулю N, т. е. взятие остатка от деления . На практике дискретные сигналы иногда передаются не изолированными пакетами, а повторяются с интервалом , образуя бесконечную периодическую последовательность манипулированных радиоимпульсов: спустя секунд после импульса с комплексной амплитудой следует импульс с комплексной амплитудой и сигнал (6.10) повторяется. В этих случаях важно, чтобы малый уровень боковых лепестков имела функция , а не .

Так как функция периодична по m с периодом , то и желаемое свойство можно сформулировать как равенство нулю ее значений при всех , не кратных N [под боковыми лепестками , и понимают ее значения при всех , не кратных N].

Многочисленными исследованиями установлено, что для двоичных последовательностей с элементами +1, —1 это требование невыполнимо (за исключением тривиального случая . Поэтому -последовательности (наряду с некоторыми другими) являются оптимальными среди двоичных, так как их боковые лепестки при всех не кратных N значениях имеют минимально возможный при нечетных длинах уровень. Что же касается «Пакетных» (непериодических) свойств таких кодов, характеризуемых корреляционной функцией (6.17), то максимум бокового лепестка корреляционной функции ) для М-последовательностей имеет значение, близкое к , что считается вполне приемлемым, ибо пока никаких двоичных кодов с существенно меньшим уровнем неизвестно.

Отобранные здесь в качестве примеров виды сложных сигналов не должны рассматриваться как самые типичные для современных РТС. Повсеместное упоминание именно этих сигналов в учебной литературе связано с их большей методической наглядностью по сравнению с другими. В реальных же системах помимо рассмотренных находят применение и другие виды сложных сигналов. Так, для получения пулевых боковых лепестков вместо двоичной часто применяют -ичную фазовую манипуляцию либо двоичную ФМ дополняют введением пассивных пауз. Ценными для ряда приложений свойствами обладают сигналы с манипуляцией частоты, импульсно-временным кодированием и т. п.