§ 4.8. АНОМАЛЬНЫЕ ОШИБКИ И ПОРОГОВЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ОЦЕНКЕ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

Для того чтобы лучше понять природу асимптотического сближения дисперсии ОМП с границей Крамера — Рао, рассмотрим процедуру измерения скалярного неэнергетического параметра сигнала со случайной равновероятной начальной фазой . Согласно правилу (4.50), ОМП параметра должна максимизировать величину , где

а функции (в предположении стационарности по ) и задаются формулами (4.55), (4.56). Как видно и являются детерминированной (неслучайной) и шумовой составляющими . При этом реализации случайной функции переменной в определенном смысле подобны детерминированной функции , поскольку корреляционная функция с учетом стационарности ФН и того что оказывается равной откуда следует также стационарность случайной функции переменной .

Допустим, что ФН имеет вид, показанный на рис. 4.7,а. Тогда в отсутствие шума функция , используемая для получения ОМП, повторяет со сдвигом на , где — истинное значение измеряемого параметра (рис. 4.7,а).

Рис.4.7

При этом ОМП будет безошибочной . Если же измерения проводятся на фоне шума, то воспроизводит с искажениями, выражающимися, во-первых, в деформации выброса в окрестности точки (главного пика ФН) и смещении его максимума в сторону от , а во-вторых, в появлении побочных (удаленных от ) пиков, похожих на сдвинутые по копии ФН вследствие отмеченных корреляционных свойств .

При достаточно малом уровне шума побочные выбросы не превышают основного, расположенного вблизи и ошибки ОМП обусловлены только отклонением точки максимума основного пика от истинного значения измеряемого параметра . В свою очередь, значение названного отклонения рассчитать довольно легко, если полагать настолько большим, что в пределах отрезка, разделяющего и , производная является линейной функцией . Тогда, согласно рис. 4.7, г . Стоящая в знаменателе величина крутизну производной в точке . Линейность в пределах упоминавшегося отрезка означает неизменность. Слабый шум мало влияет на крутизну , определяемую остротой пика ФН . Поэтому справедливо приближенное равенство , из которого дисперсия ОМП

Величина в числителе дроби (4.63) есть дисперсия производной от функции по в точке . В силу нормальности в равенстве (4.62) случайная функция переменной при больших q может считаться гауссовской с корреляционной функцией по , равной корреляционной функции , т. е. при , близких к .

Так как дисперсию производной стационарной случайной функции можно найти как вторую производную от корреляционной функции со знаком минус, то после чего выражение (4.63) примет вид , полностью совпадающий с полученным ранее на основе границы Крамера — Рао [см. (4.61)]. Попутно подтверждается и изложенное в § 4.4 об асимптотической нормальности ОМП, ибо при ошибка линейно связана с величиной , которая может считаться гауссовской в силу нормальности в рассматриваемых условиях.

Как выясняется, разработанная в § 4.7 методика расчета потенциальной точности, т. е. дисперсий ОМП, оказывается удовлетворительной только при условии, что превышение сигнала над шумом настолько велико, что наблюдатель вправе полагать разброс относительно полностью укладывающимся в пределы линейного участка производной ФН, смещенной в точку . Для этого прежде всего необходимо, чтобы побочные (шумовые) выбросы на рис. 4.7, в не превосходили основного пика, обусловленного ФН сигнала. Если же q недостаточно велико, то принятие побочного выброса за основной может оказаться достаточно вероятным, в результате чего в качестве ОМП будет выдано далекое от истинного значение (пунктир на рис. 4.7, в). Подобного рода ошибки, выводящие оценку за пределы протяженности ФН по оси , называются аномальными. При заметных вероятностях аномальных ошибок приведенные формулы для дисперсий ОМП неприменимы. Дадим количественную оценку влияния аномальных ошибок на точность ОМП, воспользовавшись часто применяемой приближенной методикой.

Пусть измеряемый параметр принадлежит интервалу длины . Так как шумовая составляющая в соотношении (4.62) стационарна по , то побочный выброс, больший основного, может с равной вероятностью возникнуть в любой точке интервала . Следовательно, если рассматривать только аномальные наблюдения (те, в которых происходят аномальные ошибки), то оценку для них следует положить равновероятной на интервале . Поэтому средний по всем таким наблюдениям квадрат отклонения ОМП от составит величину , где . Очевидно, максимум этой величины, равный , будет иметь место при либо при .

Кроме того, дисперсия оценки, рассчитанная только по наблюдениям, в которых аномальных ошибок не совершается, по существу тоже известна: в первом приближении ее можно считать равной правой части (4.61). Так как аномальная ошибка и ее отсутствие — события несовместные, то для полного, т. е. учитывающего и аномальные эффекты, среднего квадрата рассеяния ОМП относительно имеем

где — вероятность аномальной ошибки. В качестве в формулу (4.64) подставлено максимальное значение этой величины в расчете на наихудшие последствия аномальных ошибок.

Чтобы оценить , аппроксимируем реальную ФН прямоугольником (пунктир на рис. 4.7, а):

где — некоторая эффективная протяженность ФН по оси . Аппроксимация (4.65) означает не что иное, как полную неразличимость копий комплексной огибающей сигнала , у которых расхождение значений не превышает , и полную их ортогональность в противном случае. Если аномальной ошибкой считать случай, когда , то можно трактовать как вероятность ошибки при различении М ортогональных в усиленном смысле сигналов со случайными фазами, из которых отличается от остальных специфическим значением параметра , причем . Оценив названную вероятность аддитивной границей (3.54), получим

где последнее приближение справедливо при , т. е. .

Для конкретизации связи между и протяженностью по выберем в качестве меры последней величину характеристика действительно содержит определенную информацию о некоторой эффективной ширине Т как функции , ибо ряд Тейлора для в малой окрестности точки после отбрасывания слагаемых высшего порядка малости имеет вид , так как . Поэтому значение , при котором уменьшается до определенного уровня по сравнению с , обратно пропорционально .

Полагая , будем иметь . Используя это вместе с (4.66) в формуле (4.64), получим для полного среднего квадрата ошибки ОМП

Разделив обе части этого выражения на асимптотическое значение дисперсии ОМП (4.61), устанавливаемое границей Крамера—Рао, и учтя, что при , будем иметь

(4.67)

Формула (4.67) показывает, во сколько раз аномальные ошибки увеличат средний квадрат флуктуаций ОМП по сравнению с дисперсией (4.61), рассчитанной без их учета. Графики зависимости от q для значений построены на рис. 4.8. Кривые отчетливо демонстрируют наличие порогового эффекта при измерениях, состоящего в резком ухудшении точности по мере уменьшения q от некоторого порогового значения . Механизм порогового эффекта заключается в том, что при величина становится ощутимой (резкий ее рост с уменьшением q объясняется экспоненциальной зависимостью от ) и вклад аномальных ошибок в [см. (4.64)] оказывается определяющим при условии, что L многократно превышает протяженность ФН по оси условие выполнено, то влияние аномальных ошибок можно не учитывать, пользуясь для определения точности ОМП границами Крамера—Рао. Для практической оценки можно прибегнуть к формуле (4.67), задав в ней левую часть , т. е. связанное с аномальными ошибками допустимое увеличение по сравнению с дисперсией , рассчитанной как граница Крамера—Рао. Чтобы иметь представление о порядке , положим , что отвечает одинаковому вкладу в средний квадрат ошибки ОМП (4.64) аномальной составляющей и составляющей с дисперсией (4.61). Тогда есть решение уравнения .

Рис. 4.8.

Рис. 4.9.

Рассчитанные таким образом зависимости представлены на рис. 4.9. При достаточно большом М можно воспользоваться тем, что из следует и .

Рассмотренные особенности оценки скалярного неэнергетического параметра сигнала со случайной фазой, связанные с аномальными ошибками, характерны и для других задач измерения параметров (в том числе векторных). Подчеркнем, что проведенный анализ базировался на допущении об отсутствии у самой ФН каких-либо заметных максимумов (боковых лепестков), лежащих вне главного лепестка, расположенного в окрестности .

Если у ФН имеются заметные боковые лепестки, то возникает повышенная вероятность появления в их окрестностях максимального выброса ФП, увеличивает общую вероятность аномальной ошибки. Это является одной из причин интереса к сигналам с малым уровнем боковых лепестков ФН (см. гл. 6).

В гл. 5 будут рассмотрены конкретные примеры оценок параметров сигналов в радиотехнических системах. При этом будет полагаться, что условия пренсбрежимости аномальными ошибками соблюдены и допустим расчет дисперсий ОМП согласно границам Крамера — Рао.