9.2. Гамма-функция
Начнем с исследования некоторого определенного интеграла как функции параметра 
Рассмотрим интеграл
Показатель 
берется для удобства. При 
можно выполнить интегрирование по частям и получить
или
При 
имеем
Следовательно, для целых 
Гамма-функция дает естественное обобщение факториала, поскольку интеграл существует и для нецелых 
Рассмотрим далее гамма-функцию в точке 1/2. Имеем
Подстановкой 
можно избавиться от корня и привести интеграл к виду
Поскольку подынтегральное выражение является четной функцией, тот же интеграл можно записать в виде
Этот интеграл часто называется интегралом ошибок.
Рассмотрим далее произведение
Формально переходя к полярным координатам, получаем
Поэтому 
Для обоснования формального перехода к полярным координатам предположим, что рассматривается интеграл
Рис. 9.2.1. Взаимосвязь прямоугольных и полярных координат
Из рис. 9.2.1 видно, что
или
При 
получаем 
Таким образом, переход от прямоугольных координат к полярным обоснован, и равенство 
доказано.
