9.7. Неравенство Чебышева и дисперсия

Если случайная величина X является дискретной, то среднее значение ее квадрата задается математическим ожиданием

Если случайная величина непрерывна, то это значение задается равенством

Поскольку подынтегральное выражение положительно, то для любого имеем

что можно записать в виде

Следовательно,

или

Это знаменитое неравенство Чебышева (справедливое как в непрерывном, так и в дискретном случаях).

Дисперсия случайной величины X, обозначаемая через это средний квадрат отклонения от среднего значения Таким образом, дисперсия случайной величины X равна

Ясно, что поскольку, то для любой константы с Кроме того,

Если независимые случайные величины и

то

Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна

Следовательно, по индукции получаем, что дисперсия суммы произвольного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.

Задачи

9.7.1. Проведите доказательство неравенства Чебышева для дискретных случайных величин.

9.7.2. Энтропия — это среднее значение Найдите соответствующее выражение для дисперсии. Ответ: