§ 16. Системы уравнений

163. Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.

Пусть даны два уравнения с двумя переменными

Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Каждая пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. Решить систему — значит найти все ее решения доказать, что их нет.

Уравнения, образующие систему, объединяются фигурной скобкой. Например, запись

означает, что уравнения образуют систему.

Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Если, в частности, обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными. При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой или по каким-либо причинам более «удобной, но равносильной первоначальной. Возможность такой замены обусловлена следующими двумя теоремами.

Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

Так, системы

равносильны.

Следствие. Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной.

Так, равносильными будут следующие системы:

Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Так, системы

равносильны: мы заменили уравнение суммой двух уравнений заданной системы, а уравнение оставили неизменным.

164. Решение системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.

Метод подстановки заключается в следующем:

1) Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражено через через

2) Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо ) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3) Находят корни этого уравнения.

4) Воспользовавшись выражением у через через находят соответствующие значения

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Из первого уравнения находим . Подставим выражение вместо во второе уравнение системы. Получим откуда находим Соответствующие значении а: найдем из уравнения если . Итак, система имеет два решения:

Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. Метод сложения основан на теоремах 5.5 и . Суть его поясним на примерах.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

равносильную данной по теореме 5.5.

Сложим теперь оба уравнения полученной системы. По теореме система

равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду

Из уравнения находим 5. Подставив это значение в уравнение находим

Итак, решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени:

Мы приходим к более простой системе

которую нетрудно решить методом подстановки. Имеем значит,

Если

Ответ: .

166. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример 1. Решить систему

Решение. Положим тогда и первое уравнение системы примет вид . Решим полученное уравнение относительно новой переменной

откуда

Таким образом, либо , т. е. либо

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: ссютветствии с этим нам предстоит теперь решить совокупность двух систем:

Из первой системы находим из второй Ответ: (2; 3) и (3; 2).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Положим Тогда и система примет вид

Полученную систему можно решить методом подстановки. Выразив из второго уравнения v через и, получим и, подставив результат в первое уравнение, получим

Соответственно находим

Итак, нашли два решения системы (1):

Возвращаясь к исходным переменным, получим совокупность двух систем:

каждую из которых нетрудно решить методом подстановки

(выразив, например, у через из первого уравнения). Первая система не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и будут решениями исходной системы.

167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Пример 1. Решить графически систему линейных уравнений

Решение. Построим график уравнения по двум точкам, например (1; 1) и (3; —2) (рис. 75).

Построим график уравнения по точкам и (4; О) (рис. 75).

Полученные прямые не параллельны, их пересечением служит точка Значит, - решение заданной системы.

Пример 2. Решить графически систему уравнений

Решение. Графиком уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5.

Графиком уравнения является гипербола (см. п. 82). Построив графики в одной системе координат (рис. 76), найдем координаты точек А, В, С, D пересечения окружности и гиперболы: Значит, решения заданной системы таковы:

168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пусть даны два линейных уравнения с двумя переменными и все коэффициенты при переменных отличны от нуля:

Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая (см. п. 162). Если , то эти прямые пересекаются в одной точке; если то прямые совпадают; если , то прямые параллельны и не совпадают.

Отсюда следует, что система двух линейных уравнений с двумя переменными

имеет единственное решение, если имеет бесконечно много решений, если не имеет решений, если

Например, система

имеет одно решение, так как . Система

не имеет решении, поскольку . Система

имеет бесконечно много решений, поскольку

169. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления.

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении:

Если обе части уравнения ни при каких значениях одновременно не обращаются в нуль, то системы

равносильны.

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в 0 при . Если то правая часть обращается в 0 при . Но при левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар при которых обе части первого уравнения системы обращаются в О. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнении системы, оставив второе уравнение системы без изменений.

Получим:

Преобразовав первое уравнение этой системы, получим Подставив найденное значение у во второе уравнение системы, получим:

Решим это иррациональное уравнение (см. п. 150). Имеем последовательно

Второе значение не удовлетворяет уравнению (1), т. е. является посторонним корнем. Значит, система имеет одно решение (5; 4).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Ни при каких значениях обе части второго уравнения системы не обращаются в 0 одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе

Из второго уравнения этой системы находим, что

Подставим найденное выражение у через в первое уравнение системы. Получим и далее Из уравнения находим, что если то Итак, (5; 3) — решение системы.

170. Системы показательных и логарифмических уравнений.

Решение систем показательных и логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений (см. п. 151, 152) и обычные приемы решения систем уравнений (см. п. 164—166, 169). Пример. Решить систему уравнений

Решение. Рассмотрим первое уравнение системы. Воспользуемся тем, что (см. п. 121). Тогда уравнение можно записать в виде и далее (см. п. 120), откуда

Теперь рассмотрим второе уравнение системы. Имеем:

Задача свелась к решению следующей системы уравнений:

Подставим вместо в первое уравнение:

Если , то , откуда находим . Если , то это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, мы нашли две нары значений переменных:

Так как заданная система содержит выражения , то должны выполняться условия . Поэтому пара исходной системе не удовлетворяет.

Ответ; (8; 4).

171. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными.

При решении систем тригонометрических уравнений используются обычные приемы решения систем уравнений и формулы тригонометрии.

Пример, Решить систему уравнений

Решение. Положим . Тогда получим систему первого уравнения этой системы Подставив найденное выражение вместо v во второе уравнение системы, получим:

Если то Если , то

Итак, мы получили две пары решений:

Так как , то нам остается решить две системы уравнений

Из уравнения находим Из уравнения находим имеют вид

Из уравнения находим Из уравнения находим Значит, решения системы

имеют вид

Замечание. При решении систем тригонометрических уравнений существенно использование различных обозначений для параметра в записи решений первого и второго уравнений системы. Иными словами, если в первом уравнении системы при записи решения в качестве параметра использована буква k, то для второго уравнения эту букву уже использовать нельзя — в рассмотренном примере для этой цели использовалась буква ,

172. Системы трех уравнений с тремя переменными.

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными

Решением такой системы называется всякая тройка чисел, удовлетворяющая каждому уравнению системы.

Для систем трех уравнений с тремя переменными применяются методы решения, аналогичные тем, что используются для систем двух уравнений с двумя переменными.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения через и подставим результат во второе и третье уравнения системы. Имеем:

и далее

Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки. Имеем:

т. е.

Из уравнения находим Из уравнения получаем соответственно а из уравнения находим

Итак, получили следующие решения: (3; - 2; 1) и (- 1; 0; 3).

173. Решение задач с помощью составления систем уравнений.

Задача 1. Два пешехода идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км. Если первый выйдет на раньше второго, то встреча произойдет через после выхода второго. Если же второй пешеход выйдет на раньше первого, то встреча произойдет через после выхода первого. С какой скоростью идет каждый пешеход?

Решение. Пусть километров в час — скорость первого пешехода, а у километров в час — скорость второго пешехода. Если первый выйдет на раньше второго, то согласно условию он будет идти до встречи тогда как второй За первый пройдет путь 4,5 километров, а за второй пройдет путь 2,50 километров. Их встреча означает, что суммарно они прошли путь 30 км, т. е. первое уравнение.

Еслн второй выйдет на раньше первого, то согласно условию он будет идти до встречи тогда как первый Рассуждая, как и выше, придем ко второму уравнению:

В итоге получаем систему уравнений

откуда получим

Ответ: первый пешеход идет со скоростью а второй

Задача 2. Вкладчику на его сбережения через год сберкасса начислила 6 р. процентных денег. Добавив 44 р., вкладчик оставил деньги еще на год. По истечении года вновь было произведено начисление процентов, и теперь вклад вместе с процентами составил 257,5 р. Какая сумма была положена на сберкнижку первоначально и сколько процентов начисляет сберкасса?

Решение. Пусть рублей — первоначальный вклад, а сберкасса в год начисляет Тогда к концу года к перво

начальному вкладу добавится рублей. Из условия получаем уравнение 6.

В конце года вкладчик внес в сберкассу еще 44 р., так что вклад в начале второго года составил рублей. Сумма, которая получилась к концу второго года с учетом начисления, составляет рублей, и по условию она равна 257,5 р. Это позволяет составить второе уравнение:

Итак, мы пришли к следующей системе двух уравнений с двумя переменными:

Выполнив преобразования обоих уравнений, получим:

Заменив второе уравнение системы разностью второго и первого уравнений, получим:

Эту систему можно решить методом подстановки. Из второго уравнения находим Подставив выражение вместо у в первое уравнение системы, получим откуда находим два корня: 200 и 1,5. Ясно, что только первое значение удовлетворяет смыслу задачи.

Подставив в уравнение вместо найденное значение 200, получим . Итак, первоначальный вклад составлял 200 р., а сберкасса в год начисляет 3%.