ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР

§ 19. Движение

75. Примеры преобразований фигур.

Преобразования фигур изучаются в курсе геометрии на плоскости и в пространстве. Если каждую точку данной фигуры на плоскости или в пространстве сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Приведем несколько примеров преобразований фигур.

1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия). Симметрия относительно точки определяется так. Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка. Точка называется симметричной точке X относительно точки если точки лежат на одной прямой и Точка, симметричная точке О, есть сама точка О. На рисунке 203 точки X и симметричны друг другу относительно точки О.

Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру при котором каждая ее точка X переходит в точку симметричную X относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. На рисунке 204 изображен симметричный относительно центра О.

На рисунке 205 изображены два куба, симметричные относительно точки О.

Если преобразование симметрии относительно точки О переводит

фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О — ее центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центром его симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 206, а). Окружность с центром О тоже центральносимметричная фигура с центром симметрии О (рис. 206, б). Все перечисленные фигуры плоские.

В пространстве, так же как и на плоскости, много примеров центрально-симметричных фигур. Например, на рисунке 207 изображены такие фигуры: это куб, сфера, параллелепипед.

2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пусть l — фиксированная прямая (рис. 208). Точка называется симметричной точке X относительно прямой l, если прямая перпендикулярна прямой l и где О — точка пересечения прямых и l. Если точка X лежит на прямой 2, то симметричная ей точка есть сама точка X. Точка, симметричная точке есть точка X. На рисунке 208, а точки симметричны относительно прямой l.

Преобразование фигуры F в при котором каждая точка X переходит в точку симметричную относительно прямой называется преобразованием симметрии относительно прямой l. При этом фигуры F и называются симметричными отно

сительно прямой I. На рисунке 208, б изображены окружности, симметричные относительно прямой I.

На рисунке 209 изображены две сферы, симметричные относительно прямой I.

Если преобразование симметрии относительно прямой I переводит фигуру F в себя, то фигура называется симметричной относительно прямой I, а прямая I называется осью симметрии фигуры.

Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 210, а). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 210, б). Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр (рис. 210, в). Все эти фигуры плоские.

В пространстве, как и на плоскости, много примеров фигур, имеющих оси симметрии. На рисунке 211 изображены такие фигуры: это прямоугольный параллелепипед, конус, правильная четырехугольная пирамида.

3. Симметрия относительно плоскости. Пусть а — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X опускают перпендикуляр на плоскость а (О — точка пересечения его с плоскостью а) и на его продолжении за точку О

откладывают отрезок равный ОХ. Точки X и называют симметричными относительно плоскости а (рис. 212).

Преобразование фигуры F в при котором каждая точка X фигуры F переходит в точку симметричную X относительно плоскости а, называется преобразованием симметрии относительно плоскости а. При этом фигуры F и называются симметричными относительно плоскости

На рисунке 213 изображены две сферы, симметричные относительно плоскости а.

Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а, а плоскость а называется плоскостью симметрии.

На рисунке 214 изображены две плоскости симметрии сферы. Заметим, что у сферы таких плоскостей симметрии бесконечное множество. У куба также имеются плоскости симметрии. На рисунке 215 изображены две на них.

4. Гомотетия Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 216). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок равный где k — положительное число. Преобразование фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит в точку построенную указанным способом, называется гомотетией относительно

центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры называются гомотетичными. На рисунке 216 четырехугольник гомотетичен четырехугольнику с центром гомотетии О и коэффициентом гомотетии

На рисунке гомотетичен с центром О и коэффициентом гомотетии, равным 1,6.

На рисунке 218 изображены две гомотетичные сферы с коэффициентом гомотетии 2.

Пример. В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре его вершины лежали на ребрах, а четыре — на основании пирамиды.

Решение. Проведем любое сечение пирамиды с вершиной S, параллельное ее основанию (рис. 219). На этом сечении (квадрате) как на верхнем основании строим куб Взяв в качестве центра гомотетии вершину S пирамиды, проведем полупрямые (на рисунке их нет). Точки их пересечения с основанием пирамиды (точнее, с диагоналями основания) будут вершинами

одного из оснований искомого куба. Вершины А, В, С, D другого основания получим, если через проведем прямые» параллельные до пересечения с ребрами пирамиды.

76. Понятие движения. Свойства движений.

Определение движения одинаково и в плоскости, и в пространстве. Преобразование фигуры F в фигуру называется движением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е. переводит любые две точки А и В фигуры F в точки фигуры так, что Рассмотренные в п. 75 симметрии относительно точки, прямой и плоскости являются движениями.

Преобразование симметрии относительно точки является движением.

Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Преобразование симметрии относительно плоскости является движением.

Сформулируем некоторые свойства движения.

При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения.

Из теоремы 5.4 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки.

При движении сохраняются углы между полупрямыми. При движении плоскость переходит в плоскость.

Рассмотрим еще два движения — поворот на плоскости и вращение вокруг оси в пространстве.

Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на одни и тот же угол в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки). На рисунке повернут на 60° по часовой стрелке около данной токи О. Углы между лучами ОА и и равны 60°.

Вращением вокруг оси на угол называется преобразование пространства, при котором:

1) имеется единственная прямая I, все точки которой переходят сами в себя;

2) любая точка А, не принадлежащая I, переходит в такую точку

а) точки лежат в плоскости а, перпендикулярной

б) является постоянным по величине и направлению (точка О есть точка пересечения плоскости а с осью ).

Прямую I называют осью вращения, угол углом вращения (рис. 221).

Неподвижными элементами вращения являются точки оси вращения, а также все плоскости, перпендикулярные этой оси. Если то вращение можно считать тождественным преобразованием.

Симметрию относительно прямой можно рассматривать как частный случай вращения, когда

Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Результат выполнения этих движений называется композицией движений.

На рисунке 222 Изображено последовательное выполнение двух движений, фигура получена из фигуры F симметрией относительно оси , а фигура получена из фигуры симметрией относительно точки О, в результате последовательного выполнения этих движений сохранились расстояния между соответствующими точками, а значит, фигура получена из фигуры F движением.

Композиция двух вращений с одной и той же осью есть вращение.

Пусть преобразование фигуры F в фигуру переводит различные точки фигуры F в различные точки фигуры Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преобразовании переходит в точку фигуры Преобразование фигуры в фигуру F, при котором точка перейдет в точку X, называется преобразованием, обратным данному. Преобразование, обратное движению, является также движением.

Как на плоскости, так и в пространстве рассматриваются равные фигуры. Фигуры F и называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур употребляется знак равенства. Запись означает, что фигура F равна .

На рисунке 213 шары симметричны относительно плоскости, а значит, они равны. На рисунке 205 кубы симметричны относительно точки, а значит, они равны. На рисунке 222 треугольники равны, так как все они получены один из другого в результате движения.

Пример 1. На рисунке 223 изображены два треугольника ABC и у которых Доказать, что эти треугольники совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину — в .

Решение. Решение задачи зависит от расположения треугольников.

1) На рисунке 223, а изображен одим из возможных вариантов. получен из при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку получен из при симметрии относительно прямой, соединяющей точку с серединой отрезка Мы знаем, что последовательное выполнение движений есть движение. Таким образом, получен из движением.

2) На рисунке 223, б изображен другой вариант. получен из параллельным переносом (см. п. 79) в направлении, заданном лучом на расстояние Далее, получен из поворотом на угол а против часовой стрелки. Вывод аналогичен первому случаю.

Пример 2. Даны две концентрические окружности. Построить ромб, отличный от квадрата, так, чтобы: 1) две вершины его принадлежали одной окружности, а две оставшиеся — другой; 2) три вершины принадлежали одной окружности, а одна — другой.

Решение. 1) Построим любой диаметр АВ одной окружности и перпендикулярный ему диаметр CD другой окружности (рис. 224, а). Диагонали полученного четырехугольника CBDA в точке пересечения делятся пополам, значит, CBDA — параллелограмм (п. 25). Из симметрии отрезков АС и ВС относительно оси CD следует равенство сторон параллелограмма, т. е. CBDA — ромб (п. 26).

2) Диаметр АВ меньшей окружности продолжим до пересечения в точке С с большей окружностью. Построим оси симметрии отрезков АС и ВС (рис. 224, б). Мы получим два ромба, удовлетворяющие условию задачи: Доказательство правильности построения проведите самостоятельно.

Аналогично можно в первом случае построить еще один ромб, а во втором — еще два.

Пример 3. Даны плоскость а и две точки А к В вне ее. Найдите на плоскости а такую точку , чтобы сумма ее расстояний от А и В, т. е. была наименьшей.

Решение. Если точки А к В расположены по разные стороны от плоскости а, то очевидно, что искомая точка N —

точка пересечения прямой АВ с плоскостью а (рис. 225, а).

Если же точки А к В расположены по одну сторону от плоскости а (рис. 225, б), то искомая точка N получится при пересечении прямой с плоскостью а, где точка, симметричная точке А относительно плоскости а. Докажем, что точка N искомая. N находится на прямой I, которая перпендикулярна отрезку и проходит через его середину а поэтому отсюда Возьмем на плоскости а произвольную точку отличную от N (рис. 225, б). Соединив точки и К, получим отрезок перпендикулярный отрезку и проходящий через его середину поэтому Отсюда вытекает, что Из имеем, что Так как то ясно, что

Таким образом, приходим к выводу, что сумма имеет наименьшее значение, и, следовательно, N — искомая точка.