§ 4. Четырехугольники

24. Выпуклые четырехугольники.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырехугольника.

Четырехугольник обозначается его вершинами. Например, на рисунке 74, а изображен четырехугольник MKCD.

Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. У четырехугольника ABCD на рисунке 74, б вершины являются соседними, а вершины В и

D — противолежащими; диагоналями являются отрезки АС и BD.

Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами. У четырехугольника ABCD на рисунке 74, б противолежащими являются стороны АВ и DC, ВС и AD, а стороны АВ и AD являются соседними.

Четырехугольник (как и любой многоугольник) называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей любую его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей полуплоскости. На рисунках 74, а и 74, б четырехугольники выпуклые, а на рисунке 74, в невыпуклый многоугольник.

Дальше мы будем рассматривать только выпуклые четырехугольники. Углом выпуклого четырехугольника ABCD при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и AD. На рисунке 74, г — угол выпуклого четырехугольника.

25. Параллелограмм.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых. На рисунке 75 четырехугольник ABCD — параллелограмм, у которого . Можно доказать следующий признак параллелограмма:

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Сформулируем обратную теорему.

Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Следующая теорема формулирует еще одно свойство параллелограмма.

У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.

Пусть ABCD — параллелограмм. Из вершины А на прямую CD опущен перпендикуляр АЕ (рис. 76). Отрезок АЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам АВ и CD.

Пример 1. Периметр параллелограмма равен 122 см. Одна из его сторон больше другой на 25 см. Найти стороны параллелограмма.

Решение. По теореме 1.32 противолежащие стороны параллелограмма равны. Обозначим одну сторону параллелограмма х, другую у. Тогда по условию ,

Решая эту систему, получим Таким образом, стороны параллелограмма равны 18, 43, 18 и 43 см.

Пример 2. Построить параллелограмм по периметру, диагонали и противолежащему ей углу.

Решение. Предположим, что задача решена и параллелограмм ABCD построен (рис. 77). Продолжив АВ и отложив получим А АСЕ, в котором так как равнобедренный, его внешний угол. Решение задачи сводится к построению по стороне АС, углу Е и стороне АЕ, равной полу периметру параллелограмма. Далее строим и дополняем его до параллелограмма.

Пример 3. Найти расстояние между недоступными точками А к В, используя признак параллелограмма (Т. 1. 30).

Решение. Провешиваем базис CD (рис. 78). О — середина отрезка CD. По стороне и двум прилежащим углам строим . Из равенства треугольников следует, что Так как диагонали ААХ и ВВУ четырехугольника АВАХВХ точкой О делятся пополам, полученный четырехугольник есть параллелограмм т. е. . Остается измерить АХВХ.

26. Прямоугольник. Ромб. Квадрат.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые. На рисунке 79, а изображен прямоугольник

Можно доказать теорему о свойстве прямоугольника.

Диагонали прямоугольника равны.

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

На рисунке 79, б изображен ромб .

Справедлива теорема о свойствах ромба.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

На рисунке 79, в изображен квадрат ABCD. Квадрат является и ромбом, поэтому обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба.

Пример 1. Сторона прямоугольника равна 4 см и образует с диагональю угол 60°. Найти эту диагональ.

Решение. AABC прямоугольный, в нем катет ВС — 4 см, а По свойству катета, лежащего в прямоугольном треугольнике против угла 30°, (см. п. 19). Итак, см.

Пример 2. Найти углы ромба, если основание перпендикуляра, опущенного из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам.

Решение. Рассмотрим (рис. 81). В нем как стороны ромба; его высота по условию является и его медианой. Следовательно, AABD является равнобедренным и при основании AD. Значит, . Итак, AABD равносторонний, а значит, Таким образом, в ромбе ABCD можно найти углы:

27. Трапеция.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми сторонами.

На рисунке 82, с изображена трапеция ABCD. Стороны ВС и AD — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны трапеции. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой. У трапеции KMDC (рис. 82, б) а значит, эта трапеция является равнобокой.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции. На рисунке 82, в отрезок MN — средняя линия трапеции ABCD.

Сформулируем теорему о свойстве средней линии трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

На рисунке 83, а изображена трапеция ABCD. Из точек А к В опущены перпендикуляры и BF на прямую CD. Отрезки АЕ и BF равны расстоянию между параллельными прямыми АВ и CD. Это расстояние называется высотой трапеции.

Пример 1. В равнобокой трапеции диагональ перпендикулярна к ее боковой стороне и образует с основанием угол 15°. Найти углы трапеции.

Решение. Углы при основаниях равнобокой трапеции равны» т. е. б); Итак, углы при основании ВС равны по 105°, а углы при основании AD равны по 75°.

Пример 2. Доказать, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

Решение. Точки М, N, Р и К — середины сторон АВ, ВС, CD и DA равнобокой трапеции ABCD (рис. 83, в). Отрезки MN и КР параллельны АС и равны ее половине как средние линии треугольников ABC и аналогично МК и NP параллельны BD и равны ее половине. Поэтому четырехугольник MNPK — параллелограмм.

МК и РК — средние линии этих треугольников, значит. . Аналогично

Таким образом, в параллелограмме MNPK все стороны равны, а значит, он является ромбом.