§ 13. Изображение пространственных фигур на плоскости

55. Параллельная проекция.

Для изображения пространственных фигур на плоскости обычно пользуются параллельным проектированием. Этот способ изображения фигуры состоит в следующем. Берем произвольную прямую l, пересекающую плоскость, на которую проектируется данная фигура, и проводим через произвольную точку А фигуры прямую, параллельную I. Точка пересечения А, этой прямой с плоскостью чертежа будет изображением точки А.

На рисунке 172 изображена параллельная проекция F фигуры F на плоскость а.

Такой способ изображения пространственной фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию фигуры при рассмотрении ее издали.

Параллельную проекцию некоторого объекта в природе представляет, например, его тень, падающая на плоскую поверхность земли при солнечном освещении (лучи солнца можно считать параллельными). На рисунке 173 изображена параллельная проекция рамы окна, освещенной солнечными лучами, на плоскость пола.

Из описанного построения изображения фигуры вытекают некоторые свойства этого изображения (изображаемые отрезки и прямые не параллельны направлению проектирования).

1. Проекция прямой есть прямая.

2. Проекция отрезка есть отрезок.

На рисунке 174 отрезок АС проектируется на плоскость а. Все прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость чертежа по прямой Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой отрезка Отрезок есть проекция отрезка АС на плоскость а. Еще раз отметим, что это утверждение справедливо, если проектируемый отрезок не параллелен направлению проектирования.

3. Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости чертежа параллельными отрезками или отрезками, лежащими на одной прямой.

параллельные отрезки фигуры. Прямые АС и параллельны, так как они получаются в пересечении параллельных плоскостей с плоскостью а. Первая из этих плоскостей проходит через прямые АС и а вторая — через прямые Таким образом параллельные отрезки АС и переходят в параллельные отрезки

Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняется при параллельном проектировании.

Например, (рис. 174).

56. Ортогональное проектирование.

Пусть дана плоскость а, на которой нужно изобразить фигуру. При этом направление проектирования задано прямой l, перпендикулярной а (рис. 175). Такое проектирование называется ортогональным (прямоугольным) проектированием на плоскость.

Ортогональной проекцией широко пользуются в техническом черчении. За основу выполнения технических чертежей берется способ ортогонального проектирования фигуры на две плоскости: горизонтальную и вертикальную у (рис. 176). Проекции точки А на эти плоскости обозначают .

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

На рисунке 177 дана ортогональная проекция на плоскость а. Проекцией треугольника ABC является треугольник

. По сформулированной теореме где — угол между плоскостью треугольника ABC и плоскостью проекции а, на рисунке 177 это

57. Геометрическое место точек в пространстве.

Геометрическим местом точек в пространстве называется фигура, которая состоит на всех точек пространства, обладающих определенным свойством.

Перечислим несколько геометрических мест точек в пространстве.

1. Геометрическим местом точек, равноудаленных от двух данных точек А и В, является плоскость а, перпендикулярная прямой АВ и проходящая через середину отрезка АВ.

2. Геометрическим местом точек, отстоящих от данной плоскости а на расстоянии d, являются две плоскости, параллельные данной плоскости и находящиеся от нее на расстоянии

3. Геометрическим местом точек, удаленных на данном расстоянии d от данной точки О, является сфера с центром в точке О и радиусом

Пример 1. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от трех данных точек, не лежащих на одной прямой.

Решение. 1-й способ (рис. 178). Три данные точки А, В и С определяют плоскость а, в которой лежит . Мы знаем, что геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В, есть плоскость Р, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через середину D стороны АВ; аналогично для точек В и С таким геометрическим местом точек будет плоскость Q. Точки, принадлежащие линии пересечения MN плоскостей Р и Q, находятся на одинаковом расстоянии от точек А, В и С. Прямая MN — искомое геометрическое место точек.

Точка О пересечения прямой MN с плоскостью а принадлежит геометрическому месту, следовательно, она находится на равном расстоянии от точек А, В и С и является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Далее, так как АВХР, то откуда .

Вывод; искомое геометрическое место точек — прямая, перпендикулярная плоскости, определяемой данными точками , и проходящая через центр окружности, описанной около

2-й способ (рис. 179). Пусть М — одна из точек искомого геометрического места точек, т. е. МА МО Наклонные МА, MB и МС равны, следовательно, равны и их проекции на плоскость а, т. е.

Отсюда следует: 1) О — центр окружности, описанной около А А ВС; 2) точки геометрического места проектируются в одну и ту же точку на плоскости а, следовательно, все они

лежат на перпендикуляре к плоскости а, проходящем через точку О.

Пример 2. Найти в пространстве геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых.

Решение. Пусть АС и BD — данные прямые (рис. 180), Р — плоскость, ими определяемая. Пусть М — произвольная точка искомого геометрического места, т. е. . Опустим перпендикуляр MN на плоскость Р; тогда как проекции равных наклонных MF и ME на плоскость Р. Прямые АС и BD соответственно перпендикулярны наклонным, следовательно, они перпендикулярны их проекциям, т. е. . Мы видим, что проекция произвольной точки геометрического места точек на плоскость Р, определяемую данными прямыми, находится на одинаковом расстоянии от АС и BD. Как известно, геометрическим местом точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых на плоскости, являются две прямые КО и HL, которые делят углы, образованные данными прямыми АС и BD, пополам. Все точки перпендикуляра MN, очевидно, принадлежат геометрическому месту точек. Построим плоскость Q через прямые MN и КО. Эта плоскость по Т. 2.9 перпендикулярна плоскости Р. Все точки плоскости Q принадлежат искомому геометрическому месту точек.

Аналогично доказывается, что точки искомого геометрического места лежат также и на плоскости R, перпендикулярной плоскости Р. Плоскости Q и R перпендикулярны между собой, так как линейные углы KOL и КОН прямые.

Итак, искомым геометрическим местом точек являются две плоскости Q и А, перпендикулярные плоскости Р, причем плоскости Q и R перпендикулярны между собой и делят углы между данными прямыми пополам.