12.1.1. Методы численного интегрирования

Одним из способов проектирования цифровых фильтров на основе известного расчета аналоговых фильтров является метод численного интегрирования, в котором производная аппроксимируется некоторыми конечными разностями. В результате этого дифференциальное уравнение (описывающее аналоговый фильтр) заменяется на разностное уравнение (описывающее цифровой фильтр). Эта операция приводит к замене комплексной переменной s в передаточной функции аналогового фильтра

на комплексную переменную z в передаточной функции цифрового фильтра

Ясно, что различные методы численного интегрирования дадут различные функции перехода согласно соотношению (12.11) и, следовательно, различные результирующие цифровые фильтры. В этом разделе рассматривается наиболее простой случай — аппроксимация Эйлера.

Метод Эйлера аппроксимирует производную по времени непрерывной функции конечной разностью вида

где Т — интервал дискретизации, а

для всех целых значений . В операторной форме уравнения (12.12) дают

В свою очередь уравнение (12.13) устанавливает, что

Пример 12.1. Задана передаточная функция фильтра Бесселя нижних частот

Найти соответствующий цифровой фильтр с помощью метода аппроксимации Эйлера.

Решение. Из уравнения (12.13) соответствующий цифровой фильтр обладает передаточной функцией вида

Заметим, что выражение (12.16) можно получить, производя основную аппроксимацию Эйлера производных следующим образом

Если — соответственно входной и выходной сигналы фильтра Бесселя, то из уравнения (12 15) получаем

Следовательно, дифференциальное уравнение, характеризующее аналоговый фильтр Бесселя, задается соотношением

При

аппроксимация Эйлера производных дает

Подставляя уравнение (12 18) в формулу (12.176), получаем

или

Передаточную функцию результирующего цифрового фильтра получаем с помощью z-преобразования выражения (12.19)

или

На постоянном токе, т. е. при имеем

а уравнение (12.20) дает

Таким образом, характеризуемый уравнением (12.20) цифровой фильтр обладает таким же усилением на постоянном токе, как и исходный аналоговый Фильтр, заданный выражением (12 15).

Отметим, что описывающее цифровой фильтр соотношение (12.20) представляет собой только аппроксимацию аналогового фильтра (12.15). Для оценки качества этой аппроксимации рассмотрим оба условия (12.10) для процедуры перехода Эйлера.

Согласно условию (12.14), мнимая ось s-плоскости отображается в

Из уравнения (12.22) следует, что

а фазовый угол Для определяется как

Как показано на рис. 12.7, функция изменяется от до для от до

Рис. 12.7. Фазовые характеристики заданные уравнением (12.236).

Это приводит к тому, что изображение мнимой оси s-плоскости представляет собой окружность с радиусом 1/2 в -плоскости и с центром, расположенным в точке (рис. 12.8). При

(кликните для просмотра скана)

процедура перехода (12.14) дает и, следовательно,

Это означает, что левая половина s-плоскости переходит внутрь единичного круга -плоскости. Таким образом, условие 2 (12.10 б) удовлетворяется.

Как следует из рис. 12.8, условие 2 (12.106) удовлетворяется в то время как условие 1 (12.10 а) полностью не обеспечивается. Однако при малых таких, что (рис. 12.8), процедура перехода (12.13) достаточно близко соответствует условию 1. Следовательно, метод перехода Эйлера (12.13) обеспечивает удовлетворительные результаты для работы в области низких частот и фильтров нижних частот. Другими словами, результирующий цифровой фильтр нижних частот, полученный с помощью процедуры Эйлера, будет обладать частотной характеристикой в полосе пропускания, аналогичной характеристике исходного аналогового фильтра, при условии, что интервал дискретизации Т достаточно мал.

Если вместо простой аппроксимации Эйлера (12.12) производная по времени аппроксимируется взвешенной суммой конечных разностей более высокого порядка, таких, что

где L — положительное целое число, то процедура перехода имеет вид

В этом случае можно показать, что процедура перехода в выражении (12.27) удовлетворяет условию 2 (12.10 б) и не удовлетворяет условию 1 (12.10 а). Фактически область или диапазон значений 0, где выполняется условие 1, уменьшается при увеличении порядка аппроксимации L. Это означает, что любая аппроксимация производных по времени с более высоким порядком, чем в процедуре Эйлера, не представляет практического интереса, поскольку в основном не обеспечивает получение хороших результатов, за исключением крайне низких цифровых частот.