3.2.2. Четная и нечетная части

Преобразование Гильберта дает средства для построения всей функции по заданной ее вещественной либо мнимой частям, которые определены вдоль мнимой оси s-плоскости, если обеспечена аналитичность функции в правой половине s-плоскости. Если, кроме того, представляет собой минимально-фазовую функцию, то из преобразования Гильберта следует, что можно определить функцию если известны ее модуль, фаза или групповое время. Однако трудности, связанные с оценкой соответствующих интегралов Гильберта, приводят к тому, что преобразование Гильберта практически почти не используется. В этом разделе описываются альтернативные методы построения функции цепи по заданным ее вещественной (четной) или мнимой (нечетной) частям. Другой случай, касающийся модуля и фазы, рассматривается в следующем разделе.

Напомним, что функцию цепи можно записать следующим образом:

Положим, что четная часть функции цепи задана в виде

Без потери общности можно допустить, что является четным полиномом с корнями квадратной симметрии. Тогда

Следовательно, можно использовать мнимую ось s-плоскости в качестве границы раздела, т. е. полюсы из левой или из правой половины приписываются полиному а оставшаяся половина — полиному Говоря математически, нет приоритета, по которому половина корней должна приписываться полиному Однако как инженерам нам предпочтительнее работать с устойчивыми функциями цепи (которые не содержат полюсы в правой половине s-плоскости). Вследствие этого полюсы полинома из левой половины s-плоскости приписываются полиному а полюсы из правой половины будут автоматически принадлежать полиному Таким образом, знаменатель заданной четной части был использован для нахождения знаменателя требуемой функции цепи

Если известен полином то для создания функции допускается полином числителя с набором неизвестных коэффициентов

, а именно

Из сравнения числителя четной части в выражении (3.38) и — числителя заданной функции получаем систему уравнений с неизвестными (включающими коэффициенты Решение этой системы будет давать значения этих требуемых коэффициентов Следовательно, функция полностью определена.

Пример 3.3. Построить функцию по заданной четной части вида

Решение. Поскольку получаем

Следовательно,

Корни полинома в левой половине s-плоскости дают следующие сомножители: Таким образом,

Из соотношений (3 34) и (3 40) числитель четной части функции равен

Для заданных уравнением (3.42), можно выбрать в виде полиномов соответственно второй и первой степеней. Следовательно,

можно положить, что

Таким образом, Вследствие этого из уравнения (3.43) получаем что в свою очередь означает следующее:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обоих частях уравнения (3.45), получаем следующую систему, уравнений:

Решение системы уравнений (3.46) равно

Таким образом,

Если теперь задана нечетная часть функции цепи то при использовании соотношения (3.35) вместо (3.34) можно построить устойчивую функцию способом, подобным предыдущему случаю, когда задана функция Теперь можно сформулировать следующую процедуру построения:

Процедура построения 3.1.

0. Пусть заданная функция будет нечетной (четной) частью функции где предполагается, что полином обладает корнями с квадрантной симметрией.

1. Найти корни путем перемножения самого полинома

2. Множители, определяемые корнями полинома в левой половине s-плоскости, приписываются полиному Перемножая вместе все эти сомножители, получаем Следовательно, определены которые являются соответственно четной и нечетной частями полинома

3. Положим, что , где сами коэффициенты в этот момент — неизвестные величины. Сформировать основываясь на этом введенном полиноме Заметим, что степень определяется из сравнения полинома т. е. заданного числителя функции и числителя в соотношении

4. Сформировать полином Приравнять этот результирующий полином к полиному Это приведет к системе из уравнений с неизвестными, где Эти неизвестные представляют собой коэффициенты полинома

5. Решить систему уравнений, полученных на этапе 4, для и затем сформировать функцию

Пример 3.4. Задана нечетная часть функции в виде

Найти требуемую функцию цепи

Решение Из уравнения (3.48) получаем

Таким образом, и (3.50)

Дальнейшие вычисления осуществим, следуя в соответствии с этапами, указанными в процедуре построения 3.1:

3. Для определения наименьшей степени полинома рассмотрим уравнение в числителе нечетной части

Поскольку является полиномом второй степени, а полином — третьей, то наиболее простой выбор заключается в следующем: положить степень полинома равной 1, а степень полинома равной нулю. [Другой наиболее простой выбор — предположить, что представляет собой полином третьей степени.] Если выбрать наиболее простой путь и положить полином равным

4. Подстановка уравнений (3.52) и (3.54) в соотношение (3.53) дает

Приравнивая коэффициенты в обеих частях уравнения (3.55), получаем си стему из двух уравнений с двумя неизвестными следующего вида:

5. Решая систему (3.56), получаем

Следовательно,