11.2. Z-Преобразование

Наиболее подходящим методом решения линейных разностных уравнений является z-преобразование. Оно позволяет заменить решение этих уравнений решением алгебраических уравнений. Применение z-преобразования к разностным уравнениям аналогично применению преобразования Лапласа к дифференциальным уравнениям.

z-Преобразование последовательности определяется следующим образом:

где комплексная переменная. Следовательно, является комплексной функцией.

Пример 11.2. Найти -преобразование последовательности

Решение. Из соотношения (11.25) получаем

Если

и выражение (11.27) можно упростить:

Ясно, что функция определяется для тех значений или для которых степенная последовательность в соотношении (11.25) сходится. Например, функция в уравнении (11.27) определяется только при выполнении условия (11.28 а). Записывая в экспоненциальной форме

из (11.25) получаем

Следовательно, функция определяется для тех значений с радиусом в -плоскости, для которых

значения для которых выполняется условие (11.32), называются областью сходимости последовательности . В примере 11.2 область сходимости расположена в -плоскости для

Пример 11.3. Найти область сходимости последовательности импульсов

где а — действительное число

Решение. Следовательно,

Поскольку выражение (11.34) представляет собой конечную сумму (число слагаемых ограничено), функция определена для всех Поэтому областью сходимости является вся -плоскость.

Пример 11.4. Найти область сходимости экспоненциальной последовательности

Решение. Поскольку

областью сходимости являются значения z с радиусом для которых

Ясно, что условие (11.37) выполняется, если и только если

Следовательно, область сходимости последовательности заданной выражением (1135), представляет собой часть -плоскости вне круга радиусом как показано на рис. 11.5, а.

Рис. 11.5. Область сходимости экспоненциальной последовательности, а — в г-плоскости; б - в -плоскости.

Область сходимости физически реализуемой последовательности для которой при , расположена вне определенного круга радиусом R в z-плоскости. Подходящий случай рассмотрен в примере 11.4. Значение R зависит от расположения полюсов функции Для последовательности, рассмотренной в примере 11.4, z-преобразование последовательности определяется следующим образом:

Следовательно, полюс расположен в точке которая является границей области сходимости последовательности.

Физически реализуемые последовательности составляют основу всех используемых в процессе обработки сигналов большинства физических цифровых систем, в том числе и цифровых фильтров. Для удобства z-преобразования некоторых часто используемых физически реализуемых последовательностей совместно с их областями сходимости приведены в табл. 11.1. Предположим, что в основном работа осуществляется в той части -плоскости, где определены z-преобразования всех применяемых последовательностей и, следовательно, можно не рассматривать проблемы, связанные с определением области сходимости.

Из табл. 11.1 следует, что z-преобразование последовательности представляет собой рациональную функцию либо либо Таким образом, если известны полюсы и нули z-преобразования последовательности то можно легко создать с точностью вплоть до постоянного множителя. Например, если — полюсы, — нули то можно записать в виде сомножителей следующим образом:

где — постоянная величина. Для цифровых фильтров предпочтительнее использовать выражение (11.40 а), поскольку

Таблица 11.1. Пары -преобразований некоторых физически реализуемых последовательностей

регистр сдвига или элемент линии задержки с отводами реализуют оператор Производя перемножение в выражении (11.40 а), получаем

Для общего проектирования цифрового фильтра главным образом применяется уравнение (11.41).