8.2. Аппроксимация по Чебышеву

Фильтр, подобный фильтру Баттерворта, в котором все степени свободы используются для получения амплитудно-частотной характеристики с плоским участком в начале координат, может оказаться не лучшим решением. Во многих случаях важнее иметь аппроксимацию, которая обладает равномерно хорошим качеством на протяжении всей полосы пропускания. Фильтр, имеющий подобные равномерные аппроксимирующие свойства, — это фильтр Чебышева. Коэффициент передачи фильтра Чебышева в полосе пропускания колеблется между двумя значениями (рис. 8.12). Число волн этих колебаний, которые укладываются в полосе пропускания, зависит от порядка фильтра. Амплитуда колебаний этого коэффициента передачи является свободным параметром.

8.2.1. Полиномы Чебышева

В нескольких последующих разделах будет показано, что характеристики фильтров Чебышева определяются полиномами Чебышева. В этом разделе мы рассмотрим некоторые основные свойства полиномов Чебышева.

Полином Чебышева порядка определяется выражением

Чтобы доказать, что является полиномом, зависимым от , введем промежуточную переменную

Тогда

При использовании наряду с (8.59) и (8.60) некоторых тригонометрических тождеств, получим следующие выражения;

Воспользовавшись рекуррентным тригонометрическим соотно шением

можно получить рекуррентную формулу полинома Чебышева

Исходя из того что можно, многократно используя выражения (8.63), найти полиномы Чебышева более высоких порядков.

Учитывая выражения (8.58) — (8.63), можно показать, что полином Чебышева порядка обладает следующими свойствами:

1. Для всех значений справедливо

2. монотонно возрастает при и при всех

является нечетным (четным) полиномом, зависимым от , если является нечетным (четным) числом.

Для значение функции является вещественным углом. Следовательно, представляет собой косинус вещественного угла.

Рис. 8.13. Полиномы Чебышева.

Это означает, что значение периодически изменяется в пределах от —1 до +1 при Для функция представляет собой мнимую величину и является гиперболическим косинусом вещественного угла. Поскольку гиперболический косинус изменяется

в пределах от 1 до то для Следовательно, свойство 1 действительно имеет место.

Используя то обстоятельство, что и являются монотонно возрастающими функциями своих аргументов, можно показать, что свойство 2 действительно имеет место. Свойства 3 и 4 истинны, если учесть выражения (8.63). Выражения (8.61) позволяют показать наличие этих свойств у конкретных примеров. В качестве отдельных иллюстраций на рис. 8.13 приведены графики функции от для .