23.11. Применение функций неопределенности для описания линейных неоднородных во времени систем. Обобщение понятия передаточной функции. Функция диффузии (функция рассеивания)

Линейные системы.

Система называется линейной, если ее входной и выходной сигналы связаны линейным интегродифференциальным уравнением.

Линейные и однородные (или инвариантные) во времени системы.

Для такой линейной системы коэффициенты интегро-дифференциального уравнения не зависят от времени. Она полностью характеризуется импульсным откликом преобразованием Фурье которого является комплексный коэффициент передачи или передаточной функции

В гл. 12 показано, что могут быть получены с помощью взаимной корреляции входного и выходного сигналов (рис. 23.4), когда сигнал на входе удовлетворяет некоторым условиям.

Неоднородный во времени фильтр.

В этом случае коэффициенты линейного дифференциального уравнения зависят от времени.

Рис. 23.4.

Фильтр не может теперь быть охарактеризован импульсным откликом Однако можно ввести функцию которая будет откликом в момент для функции Дирака, соответствующей моменту . Тогда обобщенное соотношение вход-выход может быть записано в виде

Пусть — преобразование Фурье по времени функции

Тогда имеем

Аналогично если — преобразование Фурье по времени функции

то

Последнее выражение можно записать в виде

или

Если — двухчастотный отклик фильтра,

или

то (23.28)

Таким образом, линейный неоднородный во времени фильтр характеризуется одной из четырех передаточных функций:

Идентификация с помощью взаимной функции неопределенности.

Напомним, что по определению функция неопределенности сигнала записывается следующим образом:

Аналогично можно определить взаимную функцию неопределенности для двух сигналов

Рис. 23.5.

Пусть неоднородный фильтр характеризуется одной из передаточных функций — функцией (рис. 23.5). Найдем взаимную функцию неопределенности для входного и выходного сигналов

Используя выражение (23.26), получим

Положим Тогда

Так как

то окончательно получим

Предположим теперь, что можно сконструировать такой тестовый сигнал функция неопределенности которого представляет собой произведение функций Дирака Тогда

Отсюда

Таким образом, вводя в систему соответствующим образом подобранный тестовый сигнал, можно получить одну из передаточных характеристик фильтра с помощью расчета взаимной функции неопределенности для входного и выходного сигналов. Этот вывод представляет собой обобщение результата, полученного в разд. 12.5.

Случайные фильтры.

Прежде чем обобщать предыдущие результаты на случайные фильтры, дадим следующие определения:

1. Пусть — случайная функция. На основе некоторых гипотез [9] мы можем определить математическое ожидание функции неопределенности

2. Если фильтр является случайным, то передаточная функция будет также случайной функцией.

Предположим существование моментов до второго порядка включительно, и пусть - среднее значение, а — момент второго порядка.

Очевидно, что функцию можно определить так же, как это описано в предыдущем разделе, рассматривая математическое ожидание обеих частей уравнения (23.31).

Ниже мы будем интересоваться в основном случайными флюктуациями вида

Их свойства второго порядка содержатся в корреляционной функции

Для упрощения задачи можно рассмотреть различные гипотезы (подробно эти вопросы изучены в работе [3]). Мы предположим, что рассматриваемая система является стационарной и удовлетворяет условию микроскопической корреляции. Тогда

Таким образом, флюктуации характеризуются функцией которая называется «функцией диффузии» системы.

Если теперь вычислить используя уравнение (23.31), то получим

С учетом выражения (23.32) это соотношение преобразуется к виду

Вводя в систему рассмотренный выше тестовый сигнал получим

Следует помнить, что этот простой результат получен при очень большом числе предположений, сделанных в процессе расчета. Тем не менее соотношение (23.32) показывает, каким образом расчет функции взаимной неопределенности позволяет определить основные характеристики неоднородных детерминированных или случайных систем.

Измерение функции неопределенности.

Вернемся к наиболее простому случаю, рассмотренному в разд. 23.4. Схема метода, реализующего идентификацию фильтра, приведена на рис. 23.6.

Рис. 23.6.

При реализации этого метода возникают два вопроса:

1) Можно ли создать такой тестовый сигнал, функцией неопределенности которого было бы произведение

2) Можно ли реализовать расчет функции взаимной неопределенности в режиме реального времени?