Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕУстанавливаемая в этом параграфе формула замены переменной является одним из важнейших средств вычисления Предположим, что функция
которое кратко можно записать в виде
понимая под у точку Обозначим через D ту область в Докажем, что если функции (3.21) имеют в области D непрерывные частные производные первого порядка и если в этой области D отличен от нуля якобиан (см. § 2 гл. 14 ч. 1).
то для
которая в подробной записи принимает следующий вид:
Точнее, мы докажем следующую основную теорему. Теорема 3.8. Если преобразование (3.21) переводит область D в D и является взаимно однозначным и если функции (3.21) имеют в области D непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным и отличный от нуля якобиан (3.22), то для каждой интегрируемой в D функции Отметим, что при условиях теоремы 3.8 существует преобразование Доказательству теоремы 3.8 предпошлем семь лемм. Сначала дадим обоснование формулы (3.23) для случая, когда преобразование (3.21) является линейным (леммы 1—4), а затем сведем к этому случаю общее преобразование (3.21) (леммы 5-7). Лемма 1. Если преобразование
или в подробной записи:
Доказательство леммы 1. Заметим, что для любых
где Но по правилу перемножения определителей равенство (3.25) и означает, что якобиан Напомним, что линейным преобразованием координат называется преобразование вида
где Для линейного преобразования (3.26) якобиан
Если этот определитель отличен от нуля, то линейное преобразование (3.26) называется невырожденным. В этом случае существует обратное преобразование, также линейное и невырожденное, и уравнения (3.26) можно разрешить относительно Основной целью следующих трех лемм является доказательство того факта, что для невырожденного линейного преобразования (3.26) и для каждой непрерывной функции
где Сначала рассмотрим два линейных преобразования частного вида: 1) линейное преобразование
или 2) линейное преобразование
или Легко видеть, что
поэтому преобразования Лемма 2. Для преобразований Доказательство леммы 2. Пусть
Достаточно доказать, что
где символом Т обозначено одно из преобразований
а
На основании формулы повторного интегрирования (3.18)
Применяя к однократному интегралу по переменной а) для случая преобразования
б) для случая преобразования
Подставим (3.30) или (3.30) в (3.29); затем, воспользовавшись формулой повторного интегрирования (3.18) и тем, что
а также полагая Лемма 3. Всякое невырожденное линейное преобразование (3.26) представимо в виде суперпозиции конечного числа Преобразований вида Доказательство леммы 3. Разобьем доказательство на три этапа. 1. Покажем, что линейное преобразование Г, заключающееся в перестановке местами В самом деле, сохраняя при записи
2) Отметим, что путем конечного числа перестановок местами двух строк или двух столбцов (т. е. путем конечного числа преобразований типа Т) мы можем привести любое линейное невырожденное преобразование к линейному преобразованию с матрицей
3) Остается доказать, что линейное преобразование с отличными от нуля главными мннорами можно представить в виде конечного числа преобразований типа Для
Преобразование переводит
Предположим, что это преобразование Т можно представить в виде конечного числа преобразований типа
Для завершения индукции достаточно доказать, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа можно привести последовательность координат (3.31) к виду
т. e. представить преобразование T с матрицей
в виде суперпозиции конечного числа преобразований вида; Для доказательства этого, сначала для каждого номера.
Далее заметим, что поскольку минор А. матрицы (3.33) отличен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель, матрицы
По теореме о базисном миноре существуют числа
т. е. равна первым не производим), то суперпозиция Лемма 4. Для любого невырожденного линейного преобразования (3.26) и любой непрерывной в области D функции В самом деле, формула (3.28) справедлива для каждого из преобразований вида Следствие из леммы 4. Если
Для доказательства этого утверждения достаточно в формуле (3.28) взять Пусть теперь дано любое преобразование Пусть
матрицы Якоби, взятые в точке
Кроме того, для единичной матрицы Лемма 5. Если выполнены условия теоремы 3.8 и С —
Доказательство леммы 5. Пусть С —
В силу формулы Тейлора для функции
Отсюда и из соотношения (3.37) заключаем, что
Полагая
Таким образом, если точка находится в кубе С с ребром
Лемма 5 доказана. Следствие 1 из леммы 5. Если выполнены условия теоремы 3.8 и область Действительно, граница любого кубируемого множества Кубируемость области Следствие 2 из леммы 5. Если функция Лемма 6. Пусть выполнены все условия теоремы 3.8 и пусть
Доказательство леммы 6. Разобьем доказательство на два этапа. 1) Докажем, что для любого невырожденного линейного преобразования Т и для любого
В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого множества
Оценив правую часть (3.43) с помощью неравенства (3.38), в котором вместо преобразования возьмем суперпозицию преобразований
По лемме 2) Докажем теперь непосредственно неравенство (3.41). Покроем пространство В каждом кубе
Поскольку элементы матрицы Якоби что функция
Суммируя последнее неравенство по всем
Из утверждения, сформулированного в конце § 4 этой главы, следует, что предел при Лемма 7. Если выполнены все условия теоремы 3.8 и дополнительно предполагается, что функция Доказательство леммы 7. Покроем пространство
Умножим обе части (3.47) на
и просуммируем полученные неравенства по всем
По теореме о среднем значении
где
и неравенство (3.48) можно усилить:
В силу утверждения, сформулированного в конце § 4, левак часть (3.49) при
Меняя в этих рассуждениях ролями
Из (3.50) и (3.51) вытекает доказываемая формула замены переменных. Лемма 7 доказана. Доказательство теоремы 3.8. Пусть Из интегрируемости функции Для каждой из неотрицательных функций Замечание 1. В условиях теоремы 3.8 можно допустить обращение в нуль якобиана (3.22) на некотором принадлежащем D множестве точек
Осуществляя в формуле (3.52) предельный переход по последовательности элементарных фигур Замечание 2. Имеет место следующее утверждение, являющееся частным случаем так называемой теоремы Сарда. Утверждение. Пусть Это утверждение и замечание 1 позволяют освободиться в теореме 3.8 от требования необращения якобиана (3.22) в нуль в области D. Замечание 3. Как показывает рассматриваемый ниже пример, требование взаимной однозначности преобразования Пример. Пусть
Тогда
Таким образом, формула замены переменных не имеет места. Замечание 4. В условиях теоремы 3.8 можно допустить неоднозначность преобразования Доказательство этого факта полностью аналогично доказательству утверждения в замечании 1.
|
1 |
Оглавление
|