§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В n-КРАТНОМ ИНТЕГРАЛЕ

Устанавливаемая в этом параграфе формула замены переменной является одним из важнейших средств вычисления -кратного интеграла.

Предположим, что функция интегрируема в некоторой замкнутой, ограниченной кубируемой области D в пространстве Предположим, далее, что от переменных мы переходим к переменным т. е. совершаем преобразование

которое кратко можно записать в виде

понимая под у точку -мерного пространства под х точку -мерного пространства а под совокупность функций

Обозначим через D ту область в которая при преобразовании (3.21) или (3.21) переводится в D, т. е. положим При этом мы всегда будем требовать, чтобы преобразование (3.21) или допускало обратное, так что

Докажем, что если функции (3.21) имеют в области D непрерывные частные производные первого порядка и если в этой области D отличен от нуля якобиан (см. § 2 гл. 14 ч. 1).

то для -кратного интеграла от функции по области D справедлива следующая формула замены переменных.

которая в подробной записи принимает следующий вид:

Точнее, мы докажем следующую основную теорему.

Теорема 3.8. Если преобразование (3.21) переводит область D в D и является взаимно однозначным и если функции (3.21) имеют в области D непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным и отличный от нуля якобиан (3.22), то для каждой интегрируемой в D функции справедлива формула замены переменных (3.23).

Отметим, что при условиях теоремы 3.8 существует преобразование обратное преобразованию

Доказательству теоремы 3.8 предпошлем семь лемм. Сначала дадим обоснование формулы (3.23) для случая, когда преобразование (3.21) является линейным (леммы 1—4), а затем сведем к этому случаю общее преобразование (3.21) (леммы 5-7).

Лемма 1. Если преобразование является суперпозицией (или произведением) двух преобразований причем все участвующие в этих преобразованиях функции имеют непрерывные частные производные первого порядка, то якобиан взятый в точке равен произведению якобиана взятого в точке х, на якобиан , взятый в точке где т. е.

или в подробной записи:

Доказательство леммы 1. Заметим, что для любых элемент стоящий на пересечении строки и столбца якобиана и взятый в точке по правилу дифференцирования сложной функции равен

где

Но по правилу перемножения определителей равенство (3.25) и означает, что якобиан , взятый в точке х, равен произведению якобиана взятого в точке х, на якобиан взятый в точке . Лемма 1 доказана.

Напомним, что линейным преобразованием координат называется преобразование вида

где — произвольные постоянные числа.

Для линейного преобразования (3.26) якобиан падает с определителем матрицы этого преобразования т. е.

Если этот определитель отличен от нуля, то линейное преобразование (3.26) называется невырожденным. В этом случае существует обратное преобразование, также линейное и невырожденное, и уравнения (3.26) можно разрешить относительно Кратко будем обозначать линейное преобразование (3.26) символом а обратное ему преобразование символом

Основной целью следующих трех лемм является доказательство того факта, что для невырожденного линейного преобразования (3.26) и для каждой непрерывной функции справедлива формула замены переменных (3.23), которую с учетом соотношения (3.27) можно представить в следующем виде:

где

Сначала рассмотрим два линейных преобразования частного вида:

1) линейное преобразование заключающееся в том, что к координате добавляется координата, а все остальные координаты при этом сохраняются:

или (краткая запись);

2) линейное преобразование заключающееся в том, что координата умножается на число а все остальные координаты при этом не меняются:

или (краткая запись).

Легко видеть, что

поэтому преобразования и невырожденные.

Лемма 2. Для преобразований и при любой непрерывной в области D функции справедлива формула замены переменных (3.28).

Доказательство леммы 2. Пусть — -мерный прямоугольный параллелепипед, содержащий D, функция имеет вид

Достаточно доказать, что

где символом Т обозначено одно из преобразований или Заметим, что если — прямоугольный параллелепипед то — снова прямоугольный параллелепипед

а — кубируемая область

На основании формулы повторного интегрирования (3.18)

Применяя к однократному интегралу по переменной формулу замены переменной для случая преобразования для случая преобразования (см § 5 гл. 9 ч. 1), получим

а) для случая преобразования

б) для случая преобразования

Подставим (3.30) или (3.30) в (3.29); затем, воспользовавшись формулой повторного интегрирования (3.18) и тем, что

а также полагая при придем к равенству (3.28). Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Всякое невырожденное линейное преобразование (3.26) представимо в виде суперпозиции конечного числа Преобразований вида и при

Доказательство леммы 3. Разобьем доказательство на три этапа.

1. Покажем, что линейное преобразование Г, заключающееся в перестановке местами координат (при сохранении всех остальных координат), представимо в виде суперпозиции шести преобразований типа

В самом деле, сохраняя при записи только координаты (остальные не меняются), можем записать:

2) Отметим, что путем конечного числа перестановок местами двух строк или двух столбцов (т. е. путем конечного числа преобразований типа Т) мы можем привести любое линейное невырожденное преобразование к линейному преобразованию с матрицей которой отличны от нуля все главные миноры, т. е. определители

3) Остается доказать, что линейное преобразование с отличными от нуля главными мннорами можно представить в виде конечного числа преобразований типа Докажем это по индукции.

Для рассмотрим преобразование Т с матрицей

Преобразование переводит утверждение справедливо. Рассмотрим теперь преобразование Т с матрицей

Предположим, что это преобразование Т можно представить в виде конечного числа преобразований типа т. е. что существует конечное число преобразований вида переводящие в

Для завершения индукции достаточно доказать, что путем суперпозиции конечного числа преобразований типа

можно привести последовательность координат (3.31) к виду

т. e. представить преобразование T с матрицей

в виде суперпозиции конечного числа преобразований вида;

Для доказательства этого, сначала для каждого номера. для которого элемент произведем преобразование, представимое суперпозицией трех преобразований: (для тех , для которых этого преобразования не производим). Суперпозиция всех указанных троек преобразований для всех переведет элемент (3.31) в

Далее заметим, что поскольку минор А. матрицы (3.33) отличен от нуля, то отличен от нуля и равный ему определитель, матрицы

По теореме о базисном миноре существуют числа линейная комбинация с которыми строк матрицы (3.35) равная

т. е. равна первым элементам строки матрицы (3.33). Это означает, что если мы для каждого для которого произведем преобразование, представимое суперпозицией. трех преобразований: (для тех для которых соответствующую тройку преобразований:

не производим), то суперпозиция и всех произведенных троек преобразований переведет элемент (3.34) в (3.32). Индукция завершена. Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Для любого невырожденного линейного преобразования (3.26) и любой непрерывной в области D функции справедлива формула замены переменных (3.28).

В самом деле, формула (3.28) справедлива для каждого из преобразований вида (лемма 2), но любое линейное невырожденное преобразование представимо в виде суперпозиции конечного числа таких преобразований (лемма 3), причем якобиан этой суперпозиции преобразований равен произведению якобианов (лемма 1).

Следствие из леммы 4. Если — произвольная кубируемая область в — произвольное невырожденное линейное преобразование, то -мерный объем области и -мерный объем ее образа связаны равенством

Для доказательства этого утверждения достаточно в формуле (3.28) взять в области

Пусть теперь дано любое преобразование и выполнены условия теоремы 3.8. При этом оба интеграла в (3.23) существуют, если только — кубируемая область, так что нам нужно доказать кубируемость D и равенство интегралов в (3.23).

Пусть — элементы

матрицы Якоби, взятые в точке саму матрицу Якоби обозначим символом Назовем нормой точки величину Назовем нормой матрицы величину

Кроме того, для единичной матрицы

Лемма 5. Если выполнены условия теоремы 3.8 и С — -мерный координатный куб, принадлежащий области D, то -мерные объемы куба С и его образа связаны неравенством

Доказательство леммы 5. Пусть С — -мерный куб с центром в точке и с ребром Тогда куб С. можно определить неравенством

В силу формулы Тейлора для функции переменных (см. п. 3 § 5 гл. 12 ч. 1) найдется число 0; из интервала такое, что

Отсюда и из соотношения (3.37) заключаем, что

Полагая получим из (3.40) и (3.39):

Таким образом, если точка находится в кубе С с ребром и с центром в точке то образ точки находится в кубе с центром в точке у и с ребром Поэтому множество кубируемо и

Лемма 5 доказана.

Следствие 1 из леммы 5. Если выполнены условия теоремы 3.8 и область кубируема, то и ее образ кубируем. В частности, если D кубируема, то и кубируема.

Действительно, граница любого кубируемого множества является множеством -мерного объема нуль, а такое множество согласно доказанному утверждению преобразуется в множество, -мерный объем которого также равен нулю.

Кубируемость области следует из того, что в условиях теоремы 3.8 для преобразования выполнены те же условия, что и для

Следствие 2 из леммы 5. Если функция интегрируема в области и выполнены условия теоремы 3.8, то а потому и интегрируемы. в D.

Лемма 6. Пусть выполнены все условия теоремы 3.8 и пусть — произвольное кубируемое подмножество D, а — его образ при преобразовании (3.21). Тогда для -мерного объема области справедливо неравенство

Доказательство леммы 6. Разобьем доказательство на два этапа.

1) Докажем, что для любого невырожденного линейного преобразования Т и для любого -мерного куба справедливо неравенство

В силу следствия из леммы 4 для любого кубируемого множества и для линейного преобразования Т справедливо равенство (3.36). Положим тогда и

Оценив правую часть (3.43) с помощью неравенства (3.38), в котором вместо преобразования возьмем суперпозицию преобразований получим

По лемме ибо матрица Якоби линейного преобразования совпадает с матрицей этого преобразования. Но это и означает, что неравенство (3.44) может быть переписано в виде (3.42). Неравенство (3.42) доказано.

2) Докажем теперь непосредственно неравенство (3.41). Покроем пространство сеткой -мерных кубов с ребром Пусть те кубы, которые целиком содержатся в и пусть

В каждом кубе фиксируем произвольную точку и запишем для этого куба неравенство (3.42), полагая при этом Получим

Поскольку элементы матрицы Якоби являются непрерывными функциями переменной х во всей области D, а следовательно, и равномерно непрерывными в D, то — равномерно непрерывная функция в Отсюда заключаем,

что функция также равномерно непрерывна в Учитывая, что получаем, что для любого найдется Такое, что для всех для которых выполняется неравенство е. Таким образом, если выбрать то (для всех и оценку (3.45) можно записать в виде

Суммируя последнее неравенство по всем , получим

Из утверждения, сформулированного в конце § 4 этой главы, следует, что предел при всей правой части (3.46) существует и равен — произвольное число). Кроме того, так что в пределе при 0 из неравенства (3.46) получается неравенство (3.41). Лемма 6 доказана.

Лемма 7. Если выполнены все условия теоремы 3.8 и дополнительно предполагается, что функция неотрицательна в D, то справедлива формула замены переменных (3.23).

Доказательство леммы 7. Покроем пространство сеткой -мерных кубов с ребром и обозначим через те из этих кубов, которые целиком содержатся в . Пусть . Для каждой области запишем неравенство (3.41):

Умножим обе части (3.47) на где

и просуммируем полученные неравенства по всем от 1 до

По теореме о среднем значении

где . Поэтому

и неравенство (3.48) можно усилить:

В силу утверждения, сформулированного в конце § 4, левак часть (3.49) при имеет предел, равный и поскольку где то в пределе при получается

Меняя в этих рассуждениях ролями рассматривая в D функцию и используя лемму 1 и теорему об определителе произведения двух матриц, получи» противоположное неравенство

Из (3.50) и (3.51) вытекает доказываемая формула замены переменных. Лемма 7 доказана.

Доказательство теоремы 3.8. Пусть — произвольная интегрируемая по области D функция и выполнены все условия теоремы 3.8.

Из интегрируемости функции в области D получаем, что существует постоянная такая, что

Для каждой из неотрицательных функций теорема 3.8 справедлива (в силу леммы 7). На тогда из линейного свойства интеграла вытекает справедливость формулы (3.23) и для разности Теорема 3.8 доказана.

Замечание 1. В условиях теоремы 3.8 можно допустить обращение в нуль якобиана (3.22) на некотором принадлежащем D множестве точек имеющем -мерный объем нуль. В самом деле, множество лежит внутри элементарной фигуры С как угодно малого объема, причем согласно доказанному выше справедлива формула

Осуществляя в формуле (3.52) предельный переход по последовательности элементарных фигур n-мерный объем которых стремится к нулю, убедимся в справедливости формулы (3.23) и для рассматриваемого случая.

Замечание 2. Имеет место следующее утверждение, являющееся частным случаем так называемой теоремы Сарда.

Утверждение. Пусть — замкнутая ограниченная аудируемая область в а функции (3.21) имеют в непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным. Пусть Тогда -мерный объем множества А равен нулю.

Это утверждение и замечание 1 позволяют освободиться в теореме 3.8 от требования необращения якобиана (3.22) в нуль в области D.

Замечание 3. Как показывает рассматриваемый ниже пример, требование взаимной однозначности преобразования существенно даже в случае связной области и условия для всех

Пример. Пусть определено равенствами

Тогда . Легко подсчитать, что якобиан преобразования не равен нулю для всех . Сравним между собой интегралы в формуле (3.23) для

Таким образом, формула замены переменных не имеет места.

Замечание 4. В условиях теоремы 3.8 можно допустить неоднозначность преобразования yа некотором принадлежащем D множестве имеющем -мерный объем нуль.

Доказательство этого факта полностью аналогично доказательству утверждения в замечании 1.