Глава 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ

Эта глава посвящена изучению специального класса функций, представимых в виде собственного или несобственного интеграла по одной переменной х от функции, которая кроме указанной переменной х зависит еще от одной переменной у, называемой параметром. Функции, представимые такими интегралами, принято называть интегралами, зависящими от параметра.

Естественно возникают вопросы о непрерывности, интегрируемости, дифференцируемости таких функций по параметру.

§ 1. РАВНОМЕРНОЕ ПО ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ СТРЕМЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ К ПРЕДЕЛУ ПО ДРУГОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1. Связь равномерного по одной переменной стремления функции двух переменных к пределу по другой пременной с равномерной сходимостью функциональной последовательности.

Пусть на множестве принадлежащем пространству и состоящем из пар где х принадлежит некоторому множеству числовой оси а у принадлежит некоторому множеству числовой оси задана функция двух переменных . В простейшем случае под можно подразумевать прямоугольник где — функция, заданная на прямоугольнике П. Пусть далее — предельная точка множества

Если при каждом х, принадлежащем множеству существует конечный предел

то будем говорить, что функция поточечно стремится к функции на множестве при у, стремящемся к и будем писать:

Понятие поточечного стремления обобщает понятие сходимости в точке функциональной последовательности (см. § 1 гл. 2).

Действительно, в частном случае, когда множество является последовательностью функцию можно рассматривать как функциональную последовательность определенную на множестве

Определим теперь понятие равномерного по переменной х стремления функции двух переменных к предельной функции при

Определение. Функция стремится равномерно относительно х на нкции при у, стремящемся к если для любого существует такоег что для всех уфуо из множества для которых и сразу для всех х из множества выполняется неравенство

Докажем утверждение, устанавливающее связь между равномерным на множестве стремлением функции при и равномерной на множестве сходимостью функциональной последовательности при где -для всех — предельная точка множества

Утверждение 1. Функция стремится к функции равномерно относительно х на множестве при тогда и только тогда, когда функциональная последовательность сходится равномерно на множестве к предельной функции для каждой последовательности где принадлежат

Доказательство. Необходимость. Пусть стремится к равномерно на множестве при Возьмем произвольную последовательность где принадлежат Покажем, что последовательность где равномерно на множестве сходится к

Фиксируем произвольное число и по нему число такое, что для любых у из множества таких, что и для всех х из выполняется неравенство Поскольку то найдется такой номер что при любых выполняется неравенство

из которого следует, что

при всех х, принадлежащих и при любом Это означает, что стремится равномерно на множестве

Достаточность. Пусть для любой сходящейся к последовательности где принадлежат соответствующая последовательность равномерно на множестве сходится к функции Докажем, что функция равномерно

мерно на множестве стремится к при Допустим противное, т. е. допустим, что существует такое число что для любого найдутся и точка из такие, что

Пусть — последовательность положительных чисел, сходящаяся к нулю. Тогда для соответствующих последовательностей где будем иметь тогда как Следовательно, последовательность функций не сходится к равномерно на множестве Таким образом, мы пришли к противоречию. Утверждение 1 полностью доказано.