§ 5. ИНТЕГРАЛЫ ЭЙЛЕРА

В этом параграфе мы изучим некоторые свойства важных неэлементарных функций, называемых интегралами Эйлера

Эйлеровым интегралом первого рода или «бета-функцией» (В-функцией) называют интеграл

В этом интеграле являются параметрами. эти параметры удовлетворяют условиям то интеграл будет несобственным, зависящим от этих параметров, причем особенности у подынтегральной функции будут в точках

Эйлеровым интегралом второго рода или «гамма-функцией» (Г-функцией) называют интеграл

Заметим, что в интеграле интегрирование происходит по полупрямой и при точка является особой точкой подынтегральной функции.

1. Г-функция.

Интеграл

сходится при каждом поскольку и интеграл при сходится.

В области где — произвольное положительное число этот интеграл сходится равномерно, так как -1 и можно применить признак Вейерштрасса (теорема 7.8 § 3). Сходящимся при всех значениях является и весь интеграл так как второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом Легко видеть, что этот интеграл сходится равномерно по а в области где число произвольно. Действительно, для всех указанных значений а и для всех сходится, то выполнены условия применимости признака Вейерштрасса. Таким образом, в области интеграл сходится равномерно,

Отсюда вытекает непрерывность функции Г (а) в области Докажем теперь дифференцируемость этой функции при Заметим, что функция непрерывна при и покажем, что интеграл

сходится равномерно на каждом сегменте Выберем число так, чтобы тогда при Поэтому существует число такое, что на Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл - сходится, то интеграл

сходится равномерно относительно а на

Аналогично для существует такое число что для всех выполняется неравенство При таких х и всех получим откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно а на Наконец, интеграл

в котором подынтегральная функция непрерывна в области очевидно, сходится равномерно относительно а на Таким образом, на интеграл

сходится равномерно (по а), а следовательно, функция Г (а) дифференцируема при любом и справедливо равенство

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что

По индукции показывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема при и для ее производной справедливо равенство

Установим теперь некоторое соотношение для Г-функции, называемое формулой приведения. Для этого выражение для проинтегрируем по частям:

Следовательно,

Это соотношение и называется формулой приведения для Г-функции. Если то, применив формулу приведения, к получим

Если то в результате последовательного применения формулы приведения получим

Это равенство показывает, что достаточно знать на (0, 1], чтобы вычислить ее значение при любом Например, при получаем

Поскольку то

Из этой формулы, например, получаем

что соответствует соглашению

Изучим теперь поведение Г-функции и построим эскиз ее графика.

Из выражения для второй производной Г-функции видно, что для всех Следовательно, возрастает. Поскольку то по теореме Ролля на сегменте [1, 2] производная имеет единственный нуль в некоторой точке Следовательно, при при . е. Г (а) монотонно убывает на и монотонно возрастает на Далее, поскольку то при При из формулы следует, что при

Равенство справедливое при можно использовать при распространении Г-функции на отрицательные значения а.

Положим для что Правая часть этого равенства определена для а из Получаем, что так продолженная функция Г (а) принимает на отрицательные значения и при а также при функция

Определив таким образом на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал На этом

интервале продолжением Г (а) окажется функция, принимающая положительные значения и такая, что при Продолжая этот процесс, определим функцию Г (а) имеющую разрывы второго рода в целочисленных точках рис. 7.1).

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях а, продолжение на отрицательные значения а осуществлено нами формально с помощью формулы приведения

Рис. 7.1