4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор.

Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что у нас рассматривается трехмерное пространство Рассмотрим произвольный линейный оператор А в этом пространстве. Напомним, что оператор А называется линейным, если для любых векторов а и и любых вещественных чисел X и (а справедливо равенство

Пусть — биортогональные базисы в Ниже нам понадобятся два равенства, справедливые для линейного оператора А:

означает векторное произведение векторов а и

Докажем эти соотношения. Согласно формулам (6.9) получим Поэтому

Выше мы воспользовались тем, что матрицы взаимно обратны и симметричны. Соотношение 1) доказано. Перейдем к доказательству соотношения 2). Используя те же равенства для и свойства матриц получим

Некоторое выражение называется инвариантом (или инвариантным), если оно не меняется при преобразовании базиса пространства. Например, инвариантом является скалярное произведение двух векторов, значение скалярной функции в дайной точке пространства.

Рассмотрим некоторые величины, связанные с оператором А являющиеся инвариантами. Пусть — базис пространства — биортогональный базис.

Утверждение 1. Величина (или ей равная — инвариант.

Доказательство. Необходимо показать, что если перейти к другому базису биортогональный базис к та будет выполнено равенство

Запишем, используя формулы (6.5):

где матрица перехода от базиса к базису — обратная ей матрица. Тогда

Сравнивая первый и последний члены в этой цепочке равенств, получаем доказательство утверждения.

Определение 1. Инвариант линейного оператора А называется дивергенцией этого оператора и обозначается .

Таким образом,

Замечание 1. Всякий линейный оператор в данном базисе однозначно может быть задан с помощью матрицы, называемой матрицей линейного оператора. Для построения этой матрицы достаточно задать оператор на базисных векторах т. е. задать векторы Разлагая эти векторы по базису получаем

Матрица и есть матрица линейного оператора в базисе

Теперь дивергенция оператора может быть выражена через элементы матрицы

Замечание 2. Величина в линейной алгебре называется матричным следом оператора А. Там же доказывается, что этот матричный след равен сумме собственных чисел оператора с учетом их кратности (спектральному следу оператора), т. е.

где — занумерованные с учетом их кратности собственные числа оператора .

Ясно, что сумма не зависит от выбора базиса пространства. Следовательно, и не зависит от выбора базиса, т. е. является инвариантом. Это еще одно доказательство утверждения об инвариантности дивергенции.

Утверждение 2. Величина (или ей равная инвариант.

Доказательство. Пусть новый базис биортогональный базис к Запишем согласно формулам (6.5):

Подставив эти величины в выражение получим

Таким образом, инвариантность величины доказана.

Определение 2. Инвариант линейного оператора А называется ротором этого оператора и обозначается .

Таким образом,