4.7. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ В КАНАЛАХ С МНОГОПОЗИЦИОННЫМИ СИГНАЛАМИ

Как показано в гл. 2, многопозиционные сигналы с плотной упаковкой сигнальных сфер обеспечивают высокую удельную скорость за счет снижения энергетической эффективности ругой стороны, корректирующие коды позволяют повысить энергетическую эффективность при определенном снижении удельной скорости. Каждый из этих способов дает выигрыш по одному из показателей в обмен на ухудшение другого показателя. Вместе с тем но многих случаях важным является одновременное повышение как энергетической, так и частотной эффективности. При этом, очевидно, сигнальные последовательности должны быть размещены в многомерном пространстве достаточно плотно, чтобы обеспечить высокую удельную скорость. В то же время они должны быть достаточно сильно разнесены, чтобы обеспечить и высокую энергетическую эффективность.

Одним из возможных подходов к решению этой задачи является применение хорошо изученных двоичных корректирующих кодов в каналах с миогопозиционными сигналами. При этом возникает проблема согласования кодека и модема, которое обеспечивает высокие показатели эффективности.

Одним из простых и широко применяемых способов является преобразование многопозиционного канала в двоичный с использованием кода Грэя (см. § 2.3). Включение кодека

помехоустойчивого кода для этого случая показано на рис. Следует отметить, что переход от -позициониых символов на выходе демодулятора к двоичным символам В на выходе декодера Грэя приводит к появлению памяти в эквивалентном двоичном канале. Двоичные символы ошибок в пределах блока длиной оказываются коррелированными.

Рис. 4.16. Схема согласования кодека и модема с использованием кода Грэя

Оценим эффективность корректирующего кодирования в -позиционной ФМ. Рассмотрим сначала применение циклических кодов, помехоустойчивость которых в каналах с двоичной ФМ была исследована в § 3.2, При большом отношении сигнал-шум для расчета вероятности ошибки можно воспользоваться приближенным выражением

В этом выражении множитель показывает энергетический проигрыш при переходе от двоичной ФМ к -позиционной ФМ. Кроме того, в аргументе формулы (4.53) учтена скорость корректирующего кода По методике, изложенной в § 3.2, рассчитаны помехоустойчивость и эффективность систем с циклическими кодами различной длины и скорости используемыми в канале с многопозиционной ФМ при При этом предполагалось, что памятью в таком канале можно пренебречь и что наиболее вероятными в канале с ФМ будут ошибочные переходы в области соседних сигналов. При использовании кода Грэя это приводит к ошибке в одном из символов блока длиной Результаты расчетов показаны на рис. Кривые сплошными линиями показывают также предельную эффективность систем, в которых используют каналы с многопознционнон ФМ и жестким решением. Удельная скорость определяется выражением Рассмотренный случай является типичным примером, когда энергетический проигрыш при переходе к -позиционной ФМ и выигрыш от применения корректирующих кодов примерно одинаковы. Это следует из результатов, показанных на рис. 4.17. К примеру, система с без кодирования и система с и циклическим кодом со скоростью близки по эффективности. Лишь при использовании достаточно длинных кодов

удается получить энергетическую эффективность несколько выше, нежели эффективность систем с фазовой модуляцией без кодирования. Эти результаты вопреки утверждениям, приведенным в [74], показывают нецелесообразность применений циклических кодов при декодировании с жестким решением в каналах с многопозиционнои ФМ и кодом Грэя.

Рис. 4.17. Кривые эффективности систем с помехоустойчивым кодированием в канале с

Рис. 4.18. Кривые помсхоустгжчипости декодирования сверточных кодов со скоростью в канале с ФМЧ

Несколько больший выигрыш здесь можно получить при использовании сверточных кодов с мягким решением на выходе демодулятора. В работе [101] рассмотрены возможности использования сверточных кодов со скоростью в канале с преобразованном в двоичный канал с применением кодека Грэя. Предусматривалось кодирование двоичными кодами, оптимальными по критерию максимума свободного расстояния в двоичном канале. Примеры таких кодов показаны в табл. 3.3. Рассмотрим простейший код со скоростью Схема кодера показана на рис. Анализ диаграммы состояний такого кодера показывает, что последовательность минимального веса на выходе кодера имеет вид Эта последовательность

отстоит на расстоянии Хэмминга, равном свободному расстоянию дшда от полностью нулевой последовательности. Представление символов недвоичного канала двоичным кодом является отображением множества из сигнальных точек -мерного пространства с эвклидовой метрикой в множество -значных наборов двоичных символов, представляемых в пространстве с метрикой Хэмминга. В общем случае это отображение является нелинейным. При таком переходе желательно, чтобы большему расстоянию Хэмминга соответствовало большее расстояние Эвклида. При использовании кода Грэя это правило для большинства пар сигнальных точек выполняется. В приведенном на рис. 4.18,а коде Грэя для ансамбля ФМ расстояние между ближайшими сигнальными точками Остальные расстояния следующие: Учитывая, что результирующая скорость передачи в такой системе расстояния между сигнальными точками можно выразить через энергию на бит: Тогда свободное расстояние сверточного кода в метрике Эвклида, определенное для канала с Для характеристики помехоустойчивости рассматриваемых систем используем коэффициент помехоустойчивости (2.27), который применительно к сверточным кодам можно представить так:

В рассматриваемом случае Это означает, что максимальный энергетический выигрыш при сверточном кодировании со скоростью в канале с по сравнению с некодированной передачей сообщений по каналу с обеспечивающей такую же удельную скорость составляет . В табл. 4.3 приведены результаты расчетов коэффициента а и энергетического выигрыша для кодов с длиной кодового ограничения

Таблица 4.3 (см. скан)

Приведенная здесь величина энергетического выигрыша является асимптотической, достигаемой при высоком отношении сигнал-шум. При конечной величине вероятности ошибки на выходе декодера выигрыш будет несколько меньше. На рис. 4.18 показаны результаты расчетов вероятности ошибки для рассматриваемых кодов, полученные методом порождающих функций, подробно изложенным в § 3.3. Следует отметить, что при использовании кода Грея сверточные коды в канале с ФМ групповыми свойствами не обладают. Поэтому расчет вероятности ошибки ведется для наихудшего распределения расстояний между сигнальными точками, в силу чего значения энергетического выигрыша получаются

несколько заниженными. Характеристики помехоустойчивости можно получить на основе моделирования системы передачи со сверточным кодированием в канале с . В [101] приводятся результаты такого моделирования для Энергетический выигрыш при на выходе составляет Это несколько меньше предельного выигрыша (см. табл. 4.3). Таким образом такая система сверточного кодирования позволяет повысить энергетическую эффективность по сравнению с ФМ на неличину порядка 3 дБ при сохранении удельной скорости (точка А на рис. 4.17).

Согласование кодека и недвоичного канала с использованием кода Грэя является неоптимальным. Двоичное представление канальных символов требует, как правило, неравной защиты с помощью корректирующего кода. Это обусловлено тем, что используемые в каналах ансамбли многопозиционных сигналов в большинстве случаев неэквидистантны. Неэквидистантны также соответствующие им наборы двоичных символов манипуляционного кода. К примеру, в ансамбле показанном на рис. 4.18,а, вероятности ошибок в старшем (крайнем слева) и последующих символах двоичного трехзначного блока относятся друг к другу как Иными словами, канал с восьмипозиционной ФМ может быть представлен тремя двоичными каналами с различными вероятностями ошибки. Выравнивание ошибок по каналам избирательным введением избыточности при кодировании оптимизирует систему передачи в целом.

Возможности повышения эффективности при помехоустойчивом кодировании в каналах с многопозиционными сигналами рассмотрены в ряде работ. Трехступенчатое кодирование в канале с ФМ рассматривалось в работе [102]. Показано, что в этом случае неравную защиту символов можно реализовать, используя различные кодеки для кодирования старшего, среднего и младшего разрядов двоичной кодовой комбинации. Результаты расчетов эффективности такой системы, когда для исправления ошибки использовались коды с кратностями исправляемых ошибок показаны на рис. 4.17 (ФМ - БЧХ). В [103] предложен регулярный способ построения сигнально-кодовых конструкций, основанный на иерархическом разбиении множества сигналов, используемых в канале, на ряд подмножеств, в каждом из которых наименьшее расстояние между сигнальными точками выбирается возможно большим. Построение завершается подбором кодов для каждого уровня иерархии, так чтобы результирующие расстояния выравнивались. Наиболее продуктивным является представление подобных систем на основе каскадных кодов, подробно рассмотренных в работе [31]. Аппозиционные символы ансамбля сигналов в канале образуют набор вложенных внутренних кодов, внешними являются двоичные корректирующие коды. Такой подход использован в [104] для оценки эффективности ряда каскадных систем с ФМ и АФМ сигналами и внешними кодами БЧХ.

Рассмотрим систему каскадного кодирования в канале с АФМ [72]. Здесь удобными для построения каскадных кодов являются ансамбли, сигнальные точки которых находятся в узлах квадратной сети. Пусть объем ансамбля При это сигналы при сигнальные точки размещены в квадрате размером (рис. 4.19,а), при квадрате размером Средняя энергия сигнала в ансамбле

где минимальное расстояние между сигналами. Каждый из таких ансамблей можно подразделить на вложенных систем сигнальных точек (подансамблей) с минимальным расстоянием в каждом Например, каждый сигнал ансамбля АФМ, показанного на рис. 4.19, а, отождествляется с четырьмя двоичными символами Предположим, что манипуляционное кодирование выполнено так, как показано на рис. 4.19, б.

Рис. 4.10. К рассмотрению системы кодировании и канале с

Каждый сигнал двумерного ансамбля в этом случае может быть образован в виде суммы двух сигналов ансамблей один из которых ослаблен на При сигнальные точки образуются суммированием трех векторов с ослаблением второго и третьего на соответственно. Схема модулятора, реализующего такой принцип формирования АФМ сигналов, показана на рис. 4.20. Пары символов являются элементами внутреннего кола. Если расстояние по Эвклиду между ближайшими сигнальными точками ансамбля равно то минимальные расстояния в подмножествах сигналов, определяемых символами и соответственно Целесообразно при передаче символов ввести кодирование, как показано на рис. 4.20. Если скорость кода то процесс передачи информационных символов удобно представить диаграммой, изображенной на рис. 4,19, в. Информационные символы без изменений поступают на модулятор и определяют

фазу большего вектора на входе сумматора. Информационный символ подается на вход сверточного кодера, на выходе которого при скорости ему будут соответствовать символы Они определяют фазу меньшего вектора на входе сумматора на передаче.

Рис. 4 20. Схема модулятора каскадной системы передачи

Результирующая удельная скорость в рассматриваемом случае с учетом модуляции и кодирования так как удельная скорость в канале с а снижение скорости при кодировании, как это видно из диаграммы рис. 4.19, б, будет определяться результирующей скоростью кода Декодирование такого каскадного кода производится следующим образом. С выхода демодулятора оценки символов 6 подаются на сверточный декодер и на вход линии задержки (см. рис. 4.20). Окончательные решения по символам определяются с учетом решений, выносимых декодером по символам Поэтому решения об информационных символах поступают на распределитель с выхода корректора К, на управляющий вход которого подаются символы

В общем случае результирующая скорость кодирования где скорость кода в подансамбле. С учетом этого результирующая удельная скорость в системе в целом

Результирующая помехоустойчивость энергетический выигрыш определяются величиной наименьшего из расстояний в подансамблях с учетом кодирования, Квадрат свободного расстояния сверточного кода (в метрике Эвклида) в подансамбле Здесь — свободное расстояние кода в метрике Хэмминга. Это выражение можно использовать для выбора параметров кодов. Если полагать, что в подансамбле с номером кодирование не используется то минимальное расстояние между сигнальными точками Приравнивая расстояния в ансамблях с номерами определяем требуемую величину расстояния Хэмминга:

Выразим величину минимального расстояния через параметры систем модуляции и кодирования, учитывая, что Используя формулы (4.55) и (4.56), получаем

Коэффициент помехоустойчивости такого типа каскадных систем

При большом числе подансамблей требуемое свободное расстояние может оказаться достаточно большим. Если реализовать такое расстояние не удастся, параметры каскадной системы рассчитывают по формулам (4.58) и (4.59) с учетом максимального возможного свободного расстояния Коэффициент помехоустойчивости (4.59) позволяет получить верхнюю оценку выигрыша рассматриваемой системы по сравнению с некодированной передачей по каналу с . В частности, в канале с выбирая скорость кода получаем согласно формулам Таким образом, удельная скорость по сравнению с возросла в 1,75 раза, а энергетическая эффективность увеличилась на На рис. 4.21 показаны результаты расчета эффективности различных вариантов таких каскадных систем. В скобках указаны наборы скоростей сверточных кодов Расчеты проводились условии, что реализуемое свободное расстояние сверточпого кода не превышает Видно, что эффективность рассмотренных систем достаточно близка к предельным кривым, показанным сплошными линиями. При выборе кодов с большим свободным расстоянием возможно получение более высоких показателен эффективности.

Рис. 4.21. Кривые эффективности систем с помехоустойчивым кодированием в канале с АФМм