7.2. МОДЕЛИ СИГНАЛОВ И ПОМЕХ

В настоящее время для описания принимаемых сигналов и помех широко используют две основные математические модели: модель в виде квазидетерминированного случайного процесса [12, 160..163] и модель в виде стохастического процесса [21, 142, 164, 165].

Квазидетерминированная модель. В соответствии с определением квазидетерминированного случайного процесса [10] аппроксимируем сосредоточенную помеху на входе приемника выражением

где детерминированная, интегрируемая в квадрате функция, определяющая структуру где — множество случайных, в общем случае неизвестных параметров СП. Такими параметрами могут быть, например, амплитудный коэффициент передачи канала, начальная фаза высокочастотного заполнения, несущая частота и т. д. Модель (7.1) позволяет учитывать в общем виде как статистические, так и структурные особенности СП в частотно-временной области.

В дальнейшем широко будет использована следующая форма записи СП:

где и ортогональные составляющие коэффициента

передачи канала для функция, сопряженная по Гильберту;

С учетом модели (7.1) принятую смесь сигнала с помехами на входе приемника можно представить соотношением

Здесь вариант принимаемого сигнала комплексный коэффициент передачи канала для сигнала; детерминированная интегрируемая в квадрате функция, определяющая структуру сигнала; длительность элемента сигнала; -совокупность число СП, воздействующих на сигнал; реализация аддитивной флуктуационной помехи, аппроксимируемая белым гауссовскпм шумом с нулевым средним и корреляционной функцией

где — дельта-функция.

Процесс характеризуется -мерной функцией распределения (функцией правдоподобия), которую при использовании независимых координат можно записать в виде [54]

где

Здесь - любая полная система ортонормированных функций. В силу принятых допущений функции принадлежит пространству следовательно, могуг быть представлены разложением в ряд по системе [167]. При фиксированных параметрах сигнала и СП имеют место разложения:

В соответствии с (7.3) и с учетом (7.7) функцию правдоподобия (7.5) для принятой реализации можно записать следующим образом;

В дальнейшем будем использовать функционал отношения правдоподобия

Для его определения запишем отношение правдоподобия в соответствии с (7.9):

Подставив в (7.11) формулы (7.8) и введя обозначение

получим

Если выполняется условие

то существует предел [10]

причем функция определяется из неоднородного интегрального уравнения

При этих условиях отношение правдоподобия (7.13) сходится по вероятности к функционалу

После подстановки (7.4) в (7.15) найдем функцию в явном виде:

С учетом (7.17) функционал отношения правдоподобия (7.16) окончательно имеет вид

При разнесенном приеме результирующий сигнал представляет собой совокупность реализаций, принятых по ветвям:

где определяется выражением (7.3).

Непосредственным обобщением (7.18) получим функционал отношения гиравдолодобия для разнесенного приема:

Предполагается, что шумы в различных ветвях разнесения независимы.

Заметим, что рассматриваемые сигналы и СП являются узкополосными процессами в том смысле, что условная полоса частот, занимаемая сигналом или СП, гораздо меньше средней частоты сигнала или СП. Вместе с тем форма передаваемых сигналов и СП может быть достаточно сложной.

Стохастическая модель. При использовании модели квазидетерминированного случайного процесса предполагается известной временная функция, описывающая форму сигнала или СП. Случайными являются отдельные параметры процесса, однако на заданном интервале времени они полагаются фиксированными. У стохастических сигналов форма неопределенна. Стохастические процессы могут быть описаны только статистически. Рассмотрим особенности модели стохастического случайного процесса при описании сигналов и СП. Представим СП в виде

Здесь — комплексная огибающая где средняя частота СП.

Комплексную огибающую можно представить как вектор состояния, который генерируется динамической системой,

описываемой комплексным векторным дифференциальным уравнением [168]

где в общем случае нелинейная матричная функция. В частном случае она может быть линейной; тогда уравнение (7.22) примет вид

Начальные условия: Здесь матрицы, описывающие динамику системы. Их элементы в общем случае являются непрерывными функциями времени. В частном случае могут быть инвариантными во времени; комплексный гауссовекий случайный процесс с пулевым средним — и ковариационной матрицей где эрмитова матрица с неотрицательно-определенной действительной частью; знак математического ожидания; знак означает комплексно-сопряженную операцию транспонирования. Операцию транспонирования в дальнейшем будем обозначать через

Принятая смесь сигнала с помехами в комплексной форме

где полезный сигнал, его комплексная огибающая; детерминированная функция; комплексный гауссовский процесс с нулевым средним, со спектральной плотностью мощности

В (7.22) причем модуляционная матрица; — вектор состояния, генерируемый динамической системой, которая описывается векторным дифференциальным уравнением

Здесь в общем случае нелинейная матричная функция. В частном случае гауосовского сигнала и СП уравнение (7.23) имеет вид

где

— матрицы, описывающие динамику системы, элементы которых в общем случае являются непрерывными функциями времени. Для синтеза алгоритмов приема используют концепцию

обновляющего (порождающего) процесса [198], определяемого выражением

где совместная оценка сигнала и СП по критерию минимума среднего квадрата ошибки, полученная из наблюдений (7.22) до текущего момента времени.

В общем случае оценка нелинейна. Для гауосовских процессов оптимальное оценивание линейно. Остановимся более подробно на случае линейных оценок. Критерием качества оценки является минимум функционала

Минимум функционала (7.25) достигается на траектории определяемой дифференциальным уравнением

где коэффициент передачи оптимального фильтра оценок; матрица ошибок фильтрации, определяемая дифференциальным уравнением

Начальные условия:

В большинстве случаев динамическая система, генерирующая вектор состояния задана неполностью. Уравнение (7.23) задано с точностью до вектора параметров следовательно, решение уравнения траектории (7.26) зависит от вектора неизвестных параметров Поэтому оценка должна определяться одновременно с оценкой параметров Для формирования оценок дополним метод уравнений состояния методами динамической адаптации [169]. Функционал (7.25) вектора можно рассматривать и как функционал вектора

Условию оптимальности соответствует равенство нулю градиента функционала (7.28) по вектору

или

Из условия (7.29) следует алгоритм адаптации относительно вектора [169]:

где матрица, определяющая скорость сходимости алгоритма.

В действительности сигнал и СП наблюдаются в шумах (7.22), поэтому, учитывая, что градиент функционала равен градиенту функционала из (7.30) получим алгоритм идентификации параметров:

Здесь матрица чувствительности решений уравнения траектории (7.26) по компонентам вектора [170]:

После вычисления полной производной оценки

с учетом (7.26), (7.27), (7.31) алгоритмы динамической адаптации примут вид:

При выполнении условий Роббинса-Монро элементы матрицы, с течением времени стремятся к нулю, поэтому уравнения

(7.32), (7.33) приближаются к соответствующим уравнениям оценки и дисперсии ошибок фильтра Калмана — Бьюси [171, т. 1].

Если сигнал детерминированный, то Тогда обновляющий процесс определяется соотношением

Найдем оценку СП по наблюдаемой реализации для этого случая:

Здесь комплексная импульсная переходная характеристика фильтра оценки

— оценка СП. Оценка комплексной огибающей в (7.36) определяется уравнениями, аналогичными по структуре (7.32), с учетом (при добавлении индекса

Далее в (7.35)

— полезный сигнал на выходе фильтра оценки СП.

С учетом выражение (7.34) примет вид

где

— сигнал с учетом влияния на него фильтра оценки СП. Формирование целесообразно в форме

причем определяется дифференциальным уравнением [171, т. 3]

Здесь определяется уравнениями (7.33) и (7.31).

Можно (см. [198]) показать, что обновляющий процесс (7.38) представляет собой белый гауссовский шум с нулевым средним и спектральной плотностью мощности Поэтому можно записать