6.5. СИНТЕЗ СИГНАЛОВ КОНЕЧНОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТИ В ЗАДАННОЙ ПОЛОСЕ ЧАСТОТ И МИНИМАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ ВНЕ ЭТОЙ ПОЛОСЫ

Ряд задач теории связи, и в частности задача синтеза оптимального корч реляционного приемника, а также задача синтеза передаточной функции фильт обладающего максимальной избирательностью при заданном групповом времени запаздывания, приводят к вопросу приближения с предписанной точностью заданной на конечном интервале оси частот функции с помощью функции которая является преобразованием Фурье от функции конечной продолжительности

При этом требуется, чтобы полная энергия функции была минимальной. Другими словами, необходимо так подобрать форму импульса длительности чтобы для его спектра выполнялось соотношение

где некоторое положительное число, характеризующее точность приближения, и, кроме того, величина

была минимальной.

Будем считать, что а также так как в противном случае решение задачи очевидно:

Отметим два очевидных свойства искомого решения задачи Во-первых, спектр функции превращает соотношение (6.36) в равенство, т. е.

Во-вторых, функция удовлетворяет интегральному уравнению

где

величина (множитель Лагранжа) определяется из равенства (6.37) и является функционалом от Для определения ее необходимо выписать решение уравнения (6.38) , как функцию подставляя его в последнее относительно

Как известно, решение интегрального уравнения типа (6.38) можно представить в виде разложения по собственным функциям ядра. В данном случае, как гхтрудно показать,

и 1 — собственные числа и собственные функции ядра причем ортонормнрованная система функций впадает с некоторой серией волновых сфероидальных функций [132],

Для определения подставим (6.39) в (6,37). Введем для этого в рассмотрение функцию определяемую следующим образом:

где

Подставляя последний интеграл в (6.40), находим

Используя связь функций и а также и известное [132] свойство собственных функций ядра

можем написать

Таким образом, уравнение, из которого может быть найдено имеет вид

Нетрудно проверить, что левая часть (6.41) является монотонно растущей функцией Поэтому определение может быть просто осуществлено, например графическим путем.

Задача, таким образом, может быть решена произвольном Можно показать, что в случае малых значении с

С другой стороны, из равенства (6.41) с очевидностью вытекает, что

Имея в виду приведенную выше оценку сверху, можно вывести из формулы (6.41) еще одно соотношение;

При задача в общем случае не имеет решения. Очевидно, необходимым и достаточным условием разрешимости задачи при является возможность представить почти всюду в интервале с помощью интеграла вида (6.35).

В ряде случаев синтез спектра возможен и целесообразен с точностью до множителя запаздывания может быть как положительным, так и отрицательным). Чтобы обосновать целесообразность сдвига на время функции покажем, что при аппроксимации спектра энергия искомого импульса, который обозначим теперь стремится к бесконечности.

Пусть с — векторы вещественного гильбертова пространства, причем Имеет место откуда, в частности, Прибавив к обеим частям последнего неравенства помножив обе части полученного неравенства снова на получим

Подставив в левую часть (6.42) вместо равный ему вектор , найдем окончательно

Возвратимся к рассматриваемой задаче на экстремум, заменив в (6.36) функцию функцией При заданном спектр искомого импульса с минимальной энергией должен, очевидно, удовлетворять соотношению

которое заменяет равенство (6.37).

Имея в виду четность вещественной и нечетность мнимой частей введенных выше спектров, положим

Тогда, опираясь на (6.43) и (6.44), можем написать

В силу неравенства Коши-Буняковского

Из последнего неравенства и (6.45) получаем оценку снизу для величины

Так как функция (где ) обладает конечной энергией и, значит, стремится к нулю при выражение

при Отсюда следует неограниченное возрастание при Таким образом, энергия оптимального импульса может быть дополнительно минимизирована с помощью надлежащего выбора времени запаздывания

Заметим, что из неравенства (6.46) вытекает также неограниченным рост энергии при

В ряде случаев, в особенности при использовании цифровых методов обработки сигналов, синтез спектра требуемой формы необходимо получить с помощью конечной дискретной последовательности При этом значения дискретной функции отделены друг от друга интервалом длительности Хотя такой вариант задачи играет самостоятельную роль, его можно использовать для приближенного решения рассмотренного выше варианта с непрерывным временем.

Спектр последовательности имеет вид

и является периодической функцией частоты с периодом

Задача состоит в отыскании параметров таких, что в интервале частот где выполняется условие

и при этом энергия минимальна.

Повторяя приведенные выше рассуждения, приходим к зависящей от некоторого параметра системе линейных уравнений относительно величин решение которой строится с помощью соответственных чисел и собст-, венных векторов матрицы с элементами

Параметр определяется в дальнейшем из аналогичного (6.41) уравнения, левая часть которого содержит, однако, лишь конечное число слагаемых.

Важно иметь в виду, что дискретная задача имеет решение только для значений удовлетворяющих неравенству

В качестве примера рассмотрим задачу синтеза передаточной функции (частотной

Рис. 6.11. Зависимости модуля аппроксимирующей функции при оптимальной задержке:

характеристики) цифрового фильтра с конечной импульсной реакцией фильтра) [133], близкой к передаточной функции «идеального» НЧ фильтра. При этом изучим роль фазовой характеристики, точнее, множителя запаздывания в определении избирательности фильтра.

Пусть В полосе частот требуется воспроизвести (при заданной величине среднеквадрэтической погрешности передаточную функцию с помощью частотной характеристики цифрового фильтра 2 где с. При этом предполагается допустимым синтез с точностью до множителя Ясно, что при достаточно малом значении отыскание минимума полной энергии приведет к минимизации части энергии содержащейся в интервалах и Энергия передаточной функции цифрового Фильтра в полосе пропускания в этой ситуации практически совпадает с величиной

условных единиц энергии.

Рис. 6.12. Зависимости модуля аппроксимирующей функции при нулевой задержке:

Поэтому частотную избирательность синтезированного фильтра будем условно характеризовать отношенном величин и При этом избирательность идеального фильтра равна единице, у прочих фильтров она меньше единицы и обратно пропорциональна

На рис. 6.11 приведены полученпые по изложенной выше методике графики функции при условных единиц энергии и оптимальном значении задержки

На рис. 6.12 приведены аналогичные кривые при пеоптимальной задержке условных единиц энергии. Как видно, линейная система, которая не вносит запаздывания фактически вообще не может быть фильтром — функция о диапазоне при некоторых значениях частоты значительно пренышает заданную в полосе пропускания величину

Эффект повышения избирательности оптимальным выбором задержки иллюстрирует также рис. 6.13 (приведенные графики являются симметричными относительно точки

Рис. 6.13. Зависимость от задержки