2.2. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ С МНОГОПОЗИЦИОННЫМИ СИГНАЛАМИ

Согласно теории потенциальной помехоустойчивости минимум вероятности ошибки воспроизведения сигнала на выходе приемника при равновероятных посылаемых сигналах обеспечивается оптимальным приемником, алгоритм работы которого имеет вид

При выполнении этого неравенства приемник выносит решение о передаче сигнала Приемник содержит каналов, в каждом из которых вычисляется квадрат расстояния и решающее устройство, в котором производится сравнение расстояний и вынесение решения о посылаемом сигнале. Для сигналов с одинаковыми энергиями алгоритм (2.18) можно преобразовать к виду

В общем случае алгоритм (2.19) можно представить так:

Здесь результаты обработки сигналов и помех в каналах приемника. Решение о посылаемом сигнале выносится по выходу канала, в котором У имеет наибольшую величину.

Если послан сигнал вероятность правильного приема есть вероятность одновременного выполнения неравенств (2.20), т. е.

Вероятность ошибки в воспроизведении сигнала на выходе приемника

Пусть — -мерная плотность вероятности совместного распределения совокупности случайных величин Если то элементарная вероятность

Вероятность правильного приема определится интегрированием по всем значениям у о

Вычислить интеграл (2.22) удается лишь в некоторых частных случаях. Если случайные величины У независимы, то многомерная плотность равна произведению одномерных: При этом

При одинаковых распределениях величины

и вероятность

Здесь - интегральная функция распределения значений случайной величины У.

Выражение (2.23) используем для расчета вероятности ошибки при приеме ортогональных сигналов. В этом случае число сигналов совпадает с размерностью пространства Как показано в § 2.1, дисперсия каждой ортогональной проекции помехи равна а одномерные плотности вероятности соответственно:

Вероятность ошибки имеет вид

Результаты численного интегрирования по этой формуле для различного числа сигналов приведены на рис. 2.1 [35]. При построении графиков учтено, что энергия на бит На этом же рисунке приведена кривая (штрихпунктирная) для противоположных сигналов значения которой определялись по формуле (1.55). Здесь же показана зависимость вероятности ошибки от для биортогональных сигналов При большом объеме ансамбля ( помехоустойчивость ортогональных и биортогональных сигналов практически совпадает. Это следует из того, что в ортогональном ансамбле каждому из сигналов ортогональны остальных, а в

Рис. 2.1. Кривые вероятности ошибки при оптимальном приеме ортогоналыных сигналов

биортогональном ансамбле сигналов ортогональны и лишь один из сигналов противоположен.

В общем случае вычисление интеграла (2.22) представляет значительные трудности. В некоторых частных случаях, как показано в приложении, интегралы удается свести к табулированным функциям [57].

При исследовании свойств сигналов и методов приема используем геометрические представления. Сигналы изобразим точками, которые являются концами векторов в -мерном пространстве. Все пространство разбивается на областей, границами которых служат гиперплоскости, равноотстоящие от концов векторов (сигнальных точек) соответствующих пар сигналов. Уравнение границ между областями сигналов можно получить из выражения (2.18), которое в этом случае обращается в следующее равенство:

Конфигурация области правильного приема сигнала определяется набором границ, разделяющих и каждый из сигналов как это следует из формулы (2.21) для вычисления . В этом случае расчет помехоустойчивости сводится к интегрированию -мерной плотности вероятности совместного распределения передаваемого сигнала и шума по областям правильного приема других возможных сигналов. В приложении рассмотрены примеры таких вычислений.

При большом отношении сигнал-шум вычисление вероятности ошибки возможно также на основе приближенных формул . В этом случае вероятность ошибки в многопозиционной системе можно оценить сверху суммарной вероятностью ошибки в двоичных системах, образованных передаваемым сигналом и каждым из других сигналов:

Оценка погрешности при вычислениях по приближенной формуле (2.25) приведена в [58].