4.22. Примеры.

1. Включение постоянного напряжения в разомкнутую на конце линию

Пусть постоянное напряжение включается в лишенную потерь и разомкнутую на конце линию (рис. 11).

Выражения для преобразованных функций напряжения и тока можем получить из уравнений (4) и (5) [4.21], положив в них

После простых преобразований находим:

причем:

Рис. 11.

Будем искать напряжение и для этого случая приведем все выкладки. Вычисление тока производится совершенно аналогично.

Найдем прежде всего значения обращающие знаменатель преобразованной функции в нуль (кроме Полагая

получим:

где произвольное целое число (как положительное, так и отрицательное).

Будем в дальнейшем обозначать соответствующее данному значению через т. е. напишем

Принимая во внимание, что найдем значения являющиеся корнями функции

Таким образом, мы получили не конечное число корней знаменателя, как это было в предыдущих задачах, а бесконечную последовательность корней.

В соответствии с этим в теореме разложения придется суммировать по всем корням т. е. конечная сумма превратится в бесконечный ряд. Таким образом, формулу (3) [2,21] мы теперь будем писать так:

Полагая в этой формуле:

получим:

и следовательно,

или

Разобьем сумму на две следующим образом:

Если принять во внимание, что величина при будет отличаться только знаком от величины при можем написать:

Следовательно,

или окончательно,

Определить можно, воспользовавшись соотношением

Произведя вычисления, подобные приведенным выше, находим:

2. Линия без потерь, нагруженная на сопротивление

Рассмотрим сейчас задачу о включении постоянного напряжения в линию без потерь, замкнутую на другом конце на сопротивление (рис. 12).

Рис. 12.

Включение происходит при нулевых начальных условиях.

Полагая в формулах (4) и получим:

причем

Как и в предыдущем примере, найдем напряжение на линии.

Прежде всего будем искать значения обращающие в нуль знаменатель преобразованного напряжения. Рассмотрим уравнение

Ввиду того, что это уравнение может иметь комплексные корни, положим:

где соответственно вещественная и мнимая части искомого корня. Подставляя в уравнение (2), получим

что можно переписать так:

Приравнивая нулю вещественную и мнимые части, получаем два уравнения:

Левая часть каждого из этих уравнений представляет собою произведение двух сомножителей. Следовательно, по крайней мере один из множителей в каждом уравнении должен равняться нулю. В соответствии с этим мы должны рассмотреть два возможных случая.

Первый случай.

Эти уравнения позволяют определить Получаем:

где — целое число (положительное или отрицательное) или нуль.

Рис. 13.

Как известно, гиперболический тангенс от вещественного аргумента меняется в пределах от — 1 до причем положительным значениям аргумента соответствуют положительные значения гиперболического тангенса, а отрицательным — отрицательные (рис. 13).

Таким образом, уравнение (4) может иметь решение только в том случае, если

Второй случай.

Теперь положим:

и, следовательно:

Эти решения могут иметь место только в случае

Таким образом, мы должны рассмотреть нашу задачу, для двух случаев:

А. Сопротивление нагрузки меньше волнового сопро тивления линии Согласно предыдущему, можем написать:

где — значение соответствующее данному 5. Принимая во внимание, что

получаем

Применим теперь теорему разложения

к выражению (1). Положим:

Дифференцируя по получим:

При следовательно:

Таким образом, получаем:

Прежде чем подставлять в эту формулу полученные выше значения произведем следующие преобразования:

Принимая во внимание, что удовлетворяют уравнению

можем написать

и, следовательно:

Таким образом,

Выражение для а приобретает теперь следующий простой вид;

Принимая во внимание, что

напишем

Если представить комплексное число в показательной форме, т. е. положить

где

то можно после небольших преобразований получить:

Если ввести обозначения:

то а приобретет вид:

В частном случае, если (короткозамкнутая линия), то:

Сопротивление нагрузки больше волнового сопротивления линии Формула (6) остается в силе и для данного случая, т. е. можем написать:

Однако сейчас определяются следующим образом:

Подставляя эти значения в (7), получим:

Принимая во внимание, что величина при равняется с обратным знаком, при можем последнее выражение переписать так:

Введя обозначения:

и сделав простые преобразования, найдем:

Если положить (разомкнутая линия), то мы получим:

3. Линия без потерь, нагруженная на емкость

Рассмотрим теперь задачу о включении постоянного напряжения в линию без потерь, нагруженную на емкость (рис. 14). Включение происходит при нулевых начальных условиях.

Как и в предыдущих задачах, будем искать напряжение а. Полагая в формуле (4) [4.21]

получим:

Принимая во внимание, что

можем написать:

где

-полная емкость линии.

Рис. 14.

Для того чтобы воспользоваться теоремой разложения, мы должны найти значения удовлетворяющие уравнению

Рассматриваемая электрическая схема не содержит омических сопротивлений, вследствие чего корни нашего уравнения должны быть чисто мнимыми. Действительно, воспользовавшись теоремой разложения, мы получим решение в форме суммы слагаемых вида где корень рассматриваемого уравнения. Если имеет вещественную часть,

отличную от нуля, то колебания будут иметь затухающий характер, что при отсутствии в системе потерь невозможно. Поэтому мы положим

и уравнение приобретет вид:

Примечание. Можно, впрочем, показать, что корни уравнения будут чисто мнимые, не ссылаясь на физические соображения. Предположим, что корни уравнения будут комплексные и

тогда получим

Разлагая левую часть этого равенства на вещественную и мнимые части и приравнивая каждую из этих частей нулю, получим два совокупных уравнения:

Легко видеть, что ни ни не могут равняться нулю. Действительно, положив в первом уравнении мы получим, что что невозможно. Положив в этом же уравнении мы придем к равенству

Однако, если то это равенство невозможно, так как

Теперь перемножим соответственно левую и правую части уравнений и сократим произведение

Предположим, что а не равно нулю, и разделим обе части полученного равенства на тогда получим

В левой части равенства стоит т. е. число существенно положительное.

Если принять во внимание, что также числа существенно положительные, то, очевидно, справа стоит число отрицательное. Таким образом, мы пришли к противоречию, которое вызвано предположением, что

Несколько ниже мы укажем способ нахождения корней трансцендентного уравнения (2), а сейчар отметим только,

что каждому положительному корню будет соответствовать равный ему абсолютной величине отрицательный корень. Перейдем теперь к вычислению и. Воспользовавшись теоремой разложения

и положив:

получим:

Принимая во внимание, что

можем написать:

Если воспользоваться уравнением (2), то можно найти

Подставляя в уравнение (3), после преобразований получим:

Так как суммирование по отрицательным можно заменить суммированием по положительным 438, переменив знак можем написать:

Эта формула дает решение поставленной задачи, если известны [корни уравнения (2)].

Теперь перейдем к рассмотрению методов нахождения корней Уравнение (2) является трансцендентным и его корни могут быть найдены графическим путем; можно, впрочем, получить приближенные формулы, позволяющие вычислять

Напишем уравнение (2) в следующей форме:

Если мы построим график функции

а затем проведем на этом графике прямую

то точки пересечения дадут значения (рис. 15).

Рис. 15.

Для нахождения первых четырех корней можно воспользоваться таблицей (на стр. 76).

В ней угол наклона прямой к оси абсцисс, определяемый соотношением

Таблица корней уравнения (см. скан)

Из рис. 15 видно, что (38 при больших значениях 5 стремится к поэтому мы можем положить для больших 5

где малое число. Тогда можем написать

и, следовательно,

или, отбрасывая малые второго порядка, найдем:

Таким образом, для больших получим:

Эта приближенная формула практически пригодна и для небольших если у не слишком мало. Так, например, при уже может быть вычислена с достаточной точностью. Можно также в правой V части уравнения приближенно положить после чего производить вычисление по одной из формул

Эти формулы дают удовлетворительный результат при любых у, если

Обычно для технических расчетов бывает достаточно взять только несколько первых членов ряда и возможно бывает удовлетвориться данными приведенной выше таблицы. Если же потребуется взять большее число членов, то приведенные приближенные формулы позволяют найти нужное число корней уравнения.

4. Линия с потерями, разомкнутая на конце

Рассмотрим включение постоянного напряжения в линию, разомкнутую на конце. В отличие от условий примера 1 [4.22], мы будем считать, что линия обладает всеми параметрами

Полагая в уравнениях (4) и (5) [4.21], получим:

Как и раньше, будем проводить все вычисления для напряжения и. Найдем значения обращающие в нуль знаменатель уравнения (1). Полагая найдем, подобно предыдущему,

где любое целое число (положительное или отрицательное) или нуль. Принимая во внимание, что

найдем

и следовательно,

Полагая для сокращения записи:

получим

Теперь необходимо отметить, что, давая 5 значения мы получим все возможные значения При отрицательных мы не получим новых а будут только повторяться ранее полученные. В формуле разложения нужно вести суммирование только по различным корням знаменателя, а следовательно, мы будем в дальнейшем каждое брать только один раз, считая, что равно целому положительному числу или нулю. Однако, как это видно из формулы

каждому соответствуют два различных значения следовательно, при суммировании в формуле разложения мы должны будем для каждого 5 брать два значения соответствующих

Воспользуемся теперь теоремой разложения

Полагая:

получим

Подставляя в последнее выражение значение напишем:

Теперь отметим еще, что:

Подставляя полученные значения в формулу (3), найдем:

или