9.32. Случай резонансного воздействия.

В том случае, когда частота внешней силы о близка к одной из собственных частот системы, результат несколько изменится.

Возвращаясь к выражению (3) [9.3], мы видим, что проделанные в предыдущем параграфе преобразования останутся в силе по отношению ко всем членам суммы, кроме одного, в котором будет малой величиной. Поэтому, полагая для определенности а частотой, близкой к можем написать:

при

Выделим теперь в слагаемые с частотами . К числу таких слагаемых относятся следующие:

и, кроме того, величина

содержащаяся в (5) [9.31].

Преобразовывая выражение интегрированием по частям (как это делалось в предыдущем параграфе) и пренебрегая

малыми величинами, это выражение приводим к виду:

Теперь можем сумму этих слагаемых написать так:

Подобно тому, как это было сделано в предыдущем параграфе, можем из этого выражения получить огибающую для частоты вынуждающей силы:

Произведя интегрирование по частям, это выражение легко преобразовать к следующему виду:

Формулы (I), (2) и (3) позволяют находить огибающие колебаний, возникающих в системе при включении переменной синусоидальной э. д. с. с медленно меняющимися амплитудой и фазой.

Учитывая, что при резонансном воздействии интеграл, входящий в правую часть (3), будет, вообще говоря, много больше остальных слагаемых, можно из (3) получить, хотя и менее точные, но более простые соотношения.

Для этой цели следует пренебречь всеми слагаемыми, стоящими вне интеграла, и величинами и До, входящими под знак интеграла. Тогда найдем:

Если положить (напряжение, изменяющееся по закону косинуса и имеющее амплитуду, равную единице) и обозначить через огибающую колебаний основной частоты, которые в этом случае появятся в системе, то из (4) получим:

Из (4) и (5) легко получается следующее соотношение, которое можно назвать теоремой свертывания для огибающих:

Формулы (4), (5) и (6) были получены С. И. Евтяновым.

Примечание. В заключение следует сделать несколько замечаний по поводу выбора малого параметра

Все предыдущие рассуждения велись в предположении, что величины будут достаточно малы для того, чтобы результат получался с необходимой степенью точности. На основании формулы (4) [9.3] и оценки (10) [9.31] можно прийти к выводу, что величина погрешности будет определяться не а их отношениями к сумме и разности частот и Полагая, что все величины не малые, мы можем, следовательно, характеризовать порядок отбрасываемых величин отношениями

Желая ввести безразмерный параметр, мы можем в качестве малого параметра выбрать либо величину

либо

причем наибольшие значения в рассматриваемом интервале, а и а — какие-либо (не малые) значения в том же интервале. Если и имеют одинаковый порядок малости (т. е. если считается возможным делать сколь угодно малыми, но так, что отношения и остаются при этом конечными), можно выбрать в качестве малого параметра любую из величин

В тех случаях, когда огибающие и а являются затухающими синусоидальными функциями с низкой частотой и показателем затухания а (или являются суммами таких функций), в качестве малого параметра обычно принимают величину