14. ДИАГРАММА ТРАНСФОРМАЦИИ ВНУТРИ ЕДИНИЧНОГО КРУГА В СЛУЧАЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ БЕЗ ПОТЕРЬ

Как уже указывалось в § 8, часто оказывается целесообразным вместо сопротивлений или проводимостей 2 оперировать с так называемыми сопротивлениями или проводимостями внутри единичного круга -сопротивлениями или -проводимостями), определяемыми по формуле

где действительное число.

Тогда вместо описанных построений в правой полуплоскости и т. д.) следует выполнять соответствующие построения внутри единичного круга. По существу, это те же самые построения, если учесть, что мнимую ось в круговой геометрии также можно рассматривать как окружность.

Диаграммы трансформации

На рис. 14.1 показаны диаграммы трансформации в виде ортогональных семейств внутри единичного круга для четырехполюсника без потерь. Нетрудно заметить, что за исключением углового положения системы координат, эти диаграммы будут полностью аналогичны диаграммам в виде ортогональных семейств, представленным на рис. 12.2; 12.4 и 12.5, если в каждой из них одну из окружностей семейства I взять в качестве границы единичного круга.

Рис. 14.1. Диаграммы трансформации внутри единичного круга: а — общий случай диаграммы эллиптического типа; общий случай диаграммы параболического типа; в — общий случай диаграммы гиперболического типа.

Вместе с тем становится ясным, каким образом строятся диаграммы, изображенные на рисунке 14.1.

Диаграмма эллиптического типа (рис. 14.1,а) состоит из семейства II всех окружностей, проходящих через фиксированную точку и перпендикулярных границе единичного круга, и из семейства I всех окружностей, перпендикулярных окружностям семейства II. При построений диаграммы через точку проводится диаметр а на расстоянии а от границы единичного круга перпендикулярно диаметру — прямая

Учитывая, что эти построения аналогичны построениям, представленным на рис. 12.2, для определения расстояния а можно воспользоваться формулой

(число 2 выражает длину диаметра единичного круга).

Таким образом,

Эта зависимость в виде графика показана на рис. 14.2. Прямая является геометрическим местом центров всех окружностей, проходящих через точку и перпендикулярных границе единичного круга, и, следовательно, на ней находятся центры окружностей семейства II. Окружности семейства I вычерчиваются так же, как на рис. 12.2, поскольку и в данном случае произведение расстояний точек пересечения каждой из окружностей с диаметром от прямой равно

Рис. 14.2. График, выражающий зависимость между расстоянними показанными на рис. 14.1, а.

Если положение фиксированной точки еще не определено, а известна (например, из построения, подобного рис. 12.1) только окружность Ко семейства I, то для того чтобы найти фиксированную точку, через центр окружности Ко и центр единичного круга проводят прямую

Последняя перпендикулярна прямой расположенной на неизвестном пока что расстоянии а от границы единичного круга. Затем, учитывая, что окружность Ко пересекает прямую в двух точках, удаленных от прямой на расстояния ( находятся из чертежа), получают соотношение

из которого определяются как расстояние а, так и расстояние от фиксированной точки до границы единичного круга. Диаграммой трансформации эллиптического типа пользуются так же, как диаграммой в правой полуплоскости. Трансформации соответствует неевклидов поворот относительно точки на угол а, который равен углу поворота в правой полуплоскости.

В случае диаграммы трансформации эллиптического типа с действительной фиксированной точкой обычно берут постоянную в выражении (8.1) такой, чтобы

фиксированная точка стала центром единичной окружности. Тогда диаграмма будет состоять из семейства концентрических окружностей, описанных вокруг центра единичной окружности, и исходящих из него лучей. При этом трансформация будет соответствовать обычному повороту.

В случае диаграммы параболического типа (рис. 14.1,б) в качестве вспомогательной линии используют касательную к единичной окружности в фиксированной точке На ней находятся все центры окружностей семейства II. Трансформация снова представляет собой сопровождающийся искажениями поворот вокруг точки

Рис. 14.3. Построение окружности, перпендикулярной к границе единичного круга в проходящей через две заданные точки

В гиперболическом случае (рис. 14.1,в) центры окружностей семейства II лежат на хорде проведенной через фиксированные точки Для точек пересечения любой окружности семейства II с хордой справедливо соотношение, аналогичное соотношению найденному для диаграммы рис. 10.3. Трансформация представляет собой такое неевклидово преобразование подобия, что все точки на диаграмме удаляются от одной фиксированной точки и приближаются к другой.

Диаграммы, представленные на рис. и 14.1,в, также бывает целесообразным дополнить, построив перспективные оси.

Прямая тоже является окружностью семейства I и при -трансформации переходит сама в себя, даже если соответствующие ей сопротивления или проводимости не имеют физического смысла. Поэтому трансформированные друг в друга точки прямой как и в случае диаграммы трансформации реактивных сопротивлений, можно привести в соответствие друг другу с помощью построения перспективных осей.

Перспективные оси и перспективные центры можно найти так же, как и на диаграммах рис. 7.4 и 10.3, с помощью фиксированных точек и отображений этих точек внутри единичного круга.

Для определения трансформированного значения какой-либо точки через нее проводят как окружность семейства I, на которой она должна остаться, так и окружность семейства II. Для точки пересечения последней с прямой посредством построения перспективных осей находят ее трансформированное значение, также лежащее на хорде что позволяет построить отображенную окружность семейства II.

Часто требуется построить внутри единичного круга окружности, перпендикулярные его краю. Дадим краткое описание такого построения. Пусть, например, (см. рис. 14.3) нужно построить окружность, проходящую через точки перпендикулярную единичной окружности. Для этого через точки проводим диаметры Затем описанным выше способом вычисляем расстояние а до прямой перпендикулярной которая является геометрическим местом центров всех окружностей, проходящих через точку и перпендикулярных к единичной окружности. Таким же образом, для точки строится прямая Точка пересечения прямых будет центром искомой окружности.

Можно избежать вычислений и найти прямые геометрически. Для этого следует выбрать какую-либо точку на границе единичного круга и найти центр окружности, проходящей через точку и перпендикулярной к единичной окружности в точке Прямая будет тогда перпендикуляром, опущенным из этого центра на диаметр Аналогично находится прямая

Трансформация малых расстояний

Для оценки результатов трансформации малых расстояний внутри единичного круга также можно использовать закон 11.3, если этот круг или фиксированные точки диаграммы трансформации, а вместе с тем и положение прямой на рис. 14.1, известны. Расстояние между двумя соседними точками относится к расстоянию между точками полученному в результате трансформации, как расстояния точек от прямой

Можно также использовать и следующий закон, который не предполагает того, что фиксированные точки известны.

Закон 14.1

Если при отображении единичной окружности самой на себя точка отображается в точку и небольшое смещение от точки в смещение от точки то для модулей этих малых смещений справедливо соотношение

Покажем, что если при трансформации внутри единичного круга точка отображается в точку то для малых смещений справедливо равенство

Если это доказать, то тем самым будет доказана и справедливость соотношения 14.3, поскольку трансформацию любой точки в какую-то другую точку всегда можно выполнить с помощью отображения через нулевую точку.

Для отображения точки на нулевую точку сначала с помощью поворота вокруг начала координат отобразим точку в точку При этом длина отрезка не изменяется. Затем с помощью преобразования подобия внутри единичного круга с фиксированными точками — точка переводится в нулевую точку. Наконец, в результате еще одного поворота вокруг нулевой точки, при котором расстояния также не изменяются, трансформированное значение совмещается с Построенное таким образом круговое отображение согласно закону 9.1 является однозначным, и поэтому однозначно определяются все его свойства. Итак, изменение отрезка длины действительно зависит только от расстояния до центра и не зависит от угла Изменение длины этого отрезка происходит только при преобразовании подобия, переводящем точку в нулевую точку. Оно является круговым отображением, при которой точка —1

отображается в Точку —1, точка и в 0. В соответствии с этим двойное отношение для четырех точек (2.19) дает

или

откуда

Дифференцируя это выражение, получаем

что при

Тем самым равенства (14.4) и (14.3) доказаны.

Переход от сопротивлений к проводимостям и трансформации при взаимозамене входа и выхода четырехполюсника

Переход от сопротивлений к проводимостям и наоборот в случае диаграммы трансформации внутри единичного круга очень прост. Чтобы осуществить его, следует лишь повернуть единичный круг на 180° вокруг собственного центра и изменить значение на на в формулах (8.1) и (8.2) для перехода от правой полуплоскости на единичный круг.

Диаграммы трансформации при обратном включении четырехполюсника получаются тоже весьма просто, а именно путем поворота единичного круга вокруг его центра, при котором фиксированные точки (рис. 14.1) переходят в точки, комплексно-сопряженные с ними.