§ 5.2. Односолитонные и многосолитонные решения нелинейного уравнения Шредингера

Пренебрегая слагаемым, учитывающим потери, и произведя перенормировку запишем (4.3.1) при в удобном для математического анализа виде:

В § 2.6 получено одно из солитонных решений нелинейного уравнения Шредингера Обобщим его, воспользовавшись непосредственно проверяемой инвариантностью (1) относительно масштабных преобразований:

Откуда следует, что

также является решением (1); параметр х, определяющий амплитуду солитона и его длительность, часто называют форм-фактором. Уравнение (1) инвариантно относительно преобразования Галилея

что позволяет провести дальнейшее обобщение и представить (3) в виде

Легко показать, что решение (5), взятое с произвольной постоянной

фазой и начальной координатой центра импульса гц,

также удовлетворяет (1).

Другим весьма важным классом аналитически вычисляемых решений НЛШ является связанное состояние N солитонов, соответствующее начальным условиям

где целое. Здесь мы ограничимся лишь краткой сводкой результатов анализа -солитонных решений методами обратной задачи рассеяния [7] (см. также § 5.8). Показано, что N-солитонный импульс представляет собой нелинейную суперпозицию солитонов с форм-факторами где Для решение (1) имеет вид

Существенно, что изменяется по С периодически с периодом (в размерных переменных При соответствующее решение может быть найдено для произвольных из системы N линейных уравнений (§ 5.8).

Рис. 5.1. Самосжатие N-солитонного импульса при На вставке приведена зависимость минимальной длительности импульса от (сплошная линия — теория, точки — эксперимент [10])

Важная особенность рассматриваемого класса граничных условий (6) состоит в том, что при начальный этап распространения спектрально-ограниченного импульса соответствует самосжатию. Это обстоятельство указывает на возможность его эффективной компрессии. Иллюстрацией здесь может служить преобразование огибающей -солитонного импульса, изображенное на рис. 5.1 при В случае малых возмущений амплитуды вида при асимптотаческое

поведение импульса] определяется его солитонной составляющей с относительной погрешностью

Рис. 5.2 иллюстрирует процесс формирования солитона из импульса при возмущение начальной амплитуды. Видно, как после ряда колебаний амплитуда импульса выходит на стационарное значение При процесс начинается с уширения импульса, при с самосжатия.

Рис. 5.2. Динамика формирования односолитонного импульса при различных начальных амплитудах Изображена зависимость пиковой амплитуды от приведенного расстояния и указано ее стационарное значение [7]

Солитонное решение достаточно быстро устанавливается в том случае, когда форма начального импульса сильно отличается от гиперболического секанса. Рис. 5.3 показывает, как трансформируется с расстоянием импульс с супергауссовской входной огибающей при Видно, что после ряда затухающих осцилляции амплитуды устанавливается солитонное решение, несолитонная составляющая убывает по амплитуде как

Принципиальную роль при анализе решений НЛШ играют интегралы движения [8]. Приведем первые три из бесконечной последовательности интегралов:

С математической точки зрения сохранение У, связано с инвариантностью НЛШ относительно преобразования с трансляционной инвариантностью, с инвариантностью относительно сдвига Отметим еще, что интеграл является гамильтонианом для уравнения (1). Наличие бесконечного числа интегралов

сохранения существенно связано с интегрируемостью НЛШ методом обратной задачи рассеяния.

Если ввести спектральную амплитуду и перейти в (8) к спектральному представлению, то легко убедиться, что сохранение первых двух интегралов движения приводит к соотношениям?

выражающим условие постоянства моментов спектрального распределения плотности мощности.

Рис. 5.3. Формирование солитона из супер гауссовского импульса

В рамках квантовых представлений величина пропорциональна числу фотонов с частотой Заменяя в (9) интегралы суммами, получаем

Первое из равенств (10) выражает сохранение общего числа фотонов, а второе — их суммарной энергии или пропорционального ей полного импульса поля. Для более детального знакомства со спектральным подходом мы отсылаем читателя к [9].

В заключение упомянем об еще одном принципиально важном свойстве шредингеровских солитонов — их устойчивости при столкновениях. Если при два солитона с форм-факторами

имеют скорости то после столкновения при их параметры останутся неизменными, варьируются лишь фазы и координаты максимумов При взаимодействии нескольких солитонов коллективные эффекты отсутствуют: полный сдвиг параметров солитона представляется алгебраической суммой парных сдвигов [8].

В качестве иллюстрации на рис. 5.4 приведены результаты численного моделирования столкновений шредингеровских солитонов. Рис. 5.45 соответствует синфазным солитонам с начальным условием

где Солитоны проходят друг сквозь друга, взаимодействие имеет характер «притяжения».

Рис. 5.4. Столкновение шредингеровских солитонов: а — противофазные; б - синфазные солитоны

Рис. 5.4а изображает картину столкновения противофазных солитонов, когда в Взаимодействие имеет характер «отталкивания», поэтому, сблизившись на минимальное расстояние, определяемое начальными скоростями импульсы расходятся.