Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 1.3. Волновые пакеты в однородной диспергирующей среде; дисперсионное расплываниеРассмотрим особенности распространения спектрально-ограниченных световых импульсов в диспергирующей среде. Как отмечалось выше, если роль дисперсии групповой скорости в среде существенна, то параметры импульса изменяются в процессе распространения. Естественно, что главные черты трансформации светового импульса в диспергирующей среде описываются низшими приближениями теории дисперсии; обычно ограничиваются вторым или третьим приближением, для которых ниже приведено подробное обсуждение. Вместе с тем анализ среднеквадратичной длительности импульса можно провести аналитически безотносительно к порядку дисперсии среды и формы начального импульса. Второе приближение теории дисперсии; аналогия с дифракцией световых пучков. В этом приближении распространение светового импульса описывается параболическим уравнением (1.1.14), имеющим решение (1.1.15). Напомним, что уравнению (1.1.14) соответствует аппроксимация дисперсионных свойств среды характеристикой вида
Значение Обсудим распространение спектрально-ограниченных импульсов. Наглядные аналитические результаты получаются для гауссовских импульсов (1.1.25). Согласно (1.1.15) комплексная амплитуда импульса в среде
где
здесь и далее время Длительность гауссовского импульса в диспергирующей среде нарастает с расстоянием:
Вместе с тем, как отмечалось выше, в линейной среде ширина спектра волнового пакета сохраняется. Уменьшение же вклада в спектр модуляции огибающей компенсируется появлением фазовой (частотной) модуляции. Причем скорость изменения частоты
Таким образом, в диспергирующей среде спектрально-ограниченный импульс преобразуется в импульс с линейной частотной модуляцией; знак ЧМ определяется знаком Из (3), (4) видно, что изменение параметров гауссовского импульса в среде зависит как от дисперсии групповой скорости первоначальной длительности
Рис. 1.3. Относительные длительность Если речь идет о распространении короткого импульса вблизи резонанса (например, в газах), то значение Выражение (2) совпадает с формулой, описывающей дифракцию плоской волны на щели. Поэтому поведение спектрально-ограниченного импульса в диспергирующей среде аналогично дифракции двумерного светового пучка. Дисперсионная длина
Рис. 1.4. Длина дисперсионного расплывания для воды (а) и кристаллов (б) в зависимости от средней длины волны сверхкороткого импульса длительностью Имеются, однако, и определенные различия между поведением волновых пучков и пакетов. Помимо того, что в реальных ситуациях имеют дело с трехмерными световыми пучками, дисперсионный параметр связи с этим в отличие от дифрагирующих пучков с положительной кривизной волнового фронта, световые импульсы могут при распространении приобретать как положительную, так и отрицательную скорость изменения частоты (см. (4)). По аналогии с дифракцией светового пучка при дисперсионном расплывании светового импульса выделяют ближнюю зону
Из (3) нетрудно найти начальную длительность В случае гауссовского импульса форма огибающей во втором приближении теории дисперсии при распространении сохраняется; для импульса любой другой формы — изменяется (§ 1.4). Поскольку в лоследнем случае наглядное выражение для трансформации огибающей импульса получить не удается, обычно ограничиваются аналитическим расчетом среднеквадратичной длительности
где тско дается (1.1.32). При
Отсюда следует, что супергауссовский импульс в диспергирующей среде может расплываться значительно сильнее, нежели гауссовский. Дисперсионное расплывание импульса увеличивается с приближением его начальной формы к прямоугольной. Третье и высшие приближения теории дисперсии. В тех случаях, когда дисперсионный параметр
Решение этого уравнения
где
— функция Грина. Амплитуда
Из рис. 1.5 следует, что кубичная дисперсия среды при Рис. 1.5. (см. скан) Трансформация огибающей гауссовского импульса (а) в диспергирующей линейной среде при значении параметров Импульс в среде становится асимметричным, его «центр тяжести» смещается Интенсивность светового импульса в диспергирующей среде можно выразить через функцию
В [20] показано, что для исходного гауссовского импульса
Среднеквадратичная длительность (1.1.19) дается через функцию
Подставляя (12) в (13), получаем
где
Дисперсионная длина
При С точки зрения интегральных характеристик импульса можно ввести обобщенную дисперсионную длину
где
Из (17) нетрудно определить относительный вклад квадратичной и кубичной дисперсий в расплывание импульса. С уменьшением При этом в дальней зоне
Следует также отметить, что зависимость На основе уравнения (1.1.10) можно проанализировать влияние дисперсии среды на распространение импульса в сколь угодно высоком приближении теории дисперсии. Естественно, что высшие приближения несколько уточняют количественно картину дисперсионного расплывания, сохраняя ее основные черты, выявленные во втором и третьем приближениях. Общий случай безотносительно к порядку приближения теории дисперсии и формы импульса рассмотрен в [31, 54]. Авторы этих работ исходят из отличающегося от (1.1.10) уравнения; структурно в нем отсутствует последнее слагаемое в фигурных скобках (1.1.10). В [31] установлены инварианты распространения импульса в диспергирующей среде. Таковыми являются «площадь» импульса, его энергия, спектральная плотность и ширина спектра, а также величины вида
В [54] показано, что независимо от порядка дисперсии среды и формы импульса его среднеквадратичная длительность в среде изменяется по параболическому закону.
|
1 |
Оглавление
|