6. ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПРУЖИН
Продольное возмущение является причиной возникновения параметрических колебаний и потери динамической устойчивости пружин. При расчете необходимо заранее знать области неустойчивости и избегать их. Теоретические и экспериментальные исследования параметрических колебаний пружин описаны в работах [5, 6, 25, 26, 28].
Исходная система дифференциальных уравнений имеет вид
где
переменная осевая сила, определяемая с учетом продольных колебаний (см. табл. 3);
- периодические функции времени.
Исследование критических частот продольных вынужденных колебаний методом характеристик, вблизи которых могут появиться неустойчивые поперечные колебания пружин (параметрический резонанс) показывает, что могут возникнуть:
а) простые параметрические резонансы, когда
б) комбинационные параметрические резонансы, когда
где
частоты, определяемые поформуле (36). Практически наиболее опасны первые основные резонансы
Однако в мягких пружинах
возможно возникновение и комбинационных резонансов.
Решить уравнения (53) можно, задаваясь формой изогнутой оси пружины
и применяя процедуру Бубнова-Галеркнна.
Для упрощенного анализа система (53) приводится к одному уравнению Хилла или Матье
где
Продольные колебания оказывают существенное влияние на развитие параметрического резонанса. Возможны три случая.
1.
продольная сила инерции незначительна.
Удерживая в уравнениях (53) или (56) только слагаемые с основной гармоникой и принимая, что силовое и кинематическое возмущение подвижного конца осуществляется по закону
получаем уравнение (56), в котором
Для пружин с
параметр, характеризующий глубину модуляции возмущения
где
определяется по формуле (38). Обычно
например
Границы главной области неустойчивости находят из выражения
в котором
Определяемые границы и их конфигурация сложным образом зависят от
так как
В пружинах с
практически
и соответственно ширина зоны равна нулю.
2.
, т. е. пружина находится в продольном резонансе. При силовом возмущении пружина теряет динамическую устойчивость при любом для кинематического возмущения справедливы формулы (59), однако при
Когда
3. Продольная возмущающая сила практически всегда приложена к пружине эксцентрично или наклонно; поэтому вынужденные продольные колебания сопровождаются поперечными, а последние могут вступить во взаимодействие с параметрическими. Следовательно, источником возникновения опасных параметрических колебаний и потери динамической устойчивости могут стать погрешности изготовления и монтажа механизма или машины.
В частности, когда
или
параметрические колебания усиливаются, и ширина зоны динамической неустойчивости заметно увеличивается.
При больших колебаниях ограничивающее влияние на развитие параметрического резонанса оказывают нелинейные факторы, в частности, продольное цепиое (распорное) усилие. Роль демпфирования при этом незначительна [16, 27].