3. УСТОЙЧИВОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ОДНОМАССОВОГО ЗОНТИЧНОГО РОТОРА В ПОЛЕ СИЛ ТЯЖЕСТИ

Динамика упругой гиросистемы существенно меняется в случае расположения центра масс выше точки опоры (см. рис. 2). При такой схеме возникает задача об устойчивости вертикального вращения обращенного гиромаятника с гибким валом и упругим элементом вблизи точки опоры [7, 15]. Ось неподвижной системы координат направлена вертикально вверх (см. рис. 2). Проекции на сферические оси силы приложенной к упругому зонтичному ротору в центре масс записаны в (3), если их взять с нижними знаками, а моменты, изгибающие ротор в плоскостях и определяются из (4). Причем для рассматриваемой задачи достаточно ограничиться линеаризованными выражениями

При сжатии упругого ротора продольной силой проекции прогибов на сферические плоскости удовлетворяют дифференциальным уравнениям (1) с нижними знаками, зависимостям (1а) при и граничным условиям (2). Все основные уравнения и характеристики движения этой колебательной системы приведены в п. 2.

Устойчивость вертикального вращения. Вертикальное положение оси симметрии гироскопа с гибким валом и центром масс выше точки опоры (зонтичного ротора) определяется стационарным решением

Необходимые условия устойчивости этого положения получаются из уравнений в вариациях для стационарного решения (20), которые полностью совпадают с однородной системой (8), а соответствующее им характеристическое уравнение имеет вид (10) при коэффициентах (12).

Из (9) следует необходимое условие устойчивости вертикального положения оси симметрии зонтичного ротора, а именно — вещественность всех четырех корней уравнения (10), взятого с коэффициентами (12).

Для уравнения (10) на основании правила Штурма указанное условие приводит к трем неравенствам:

причем

где определяются из (12).

Эти неравенства представляют собой необходимые условия устойчивости вертикального вращения зонтичного ротора.

В качестве примера рассматривается устойчивость вертикального положения оси такого ротора без упругого элемента при Коэффициенты (13) будут

где

В случае недеформируемой оси и при малых значениях удобно воспользоваться разложением

где числа Бернулли, равные и т. д.

В большинстве практически важных случаев поэтому вполне достаточно исследовать устойчивость в интервале

Подстановка коэффициентов (22) в (21) показывает, что первые два неравенства удовлетворяются при любых значениях а». В частности, функция обращается в квадратный полином относительно

У которого коэффициент при и свободный член положительны. В этом случае если но при этом условии дискриминант полинома (23) положителен. Значит, для любых вещественных значений со в рассматриваемом Интервале изменения условие выполняется. Поэтому единственным необходимым условием устойчивости в рассматриваемом случае будет После подстановки значений коэффициентов из (22) функция V становится полиномом пятой степени относительно величины

При абсолютно жестком роторе обращается в линейную функцию

Третье неравенство (21) приводится к виду откуда с учетом введенных безразмерных величин получается известное условие устойчивости

вертикального вращения волчка в случае Лагранжа где экваториальный момент инерции гироскопа относительно точки опоры.

1. Изменение величины при различных значениях параметров

(см. скан)

Упругие деформации оси расширяют зону неустойчивости гироскопа с гибким валом, повышая величину порога устойчивости. Для и любых значений уравнение имеет только один положительный вещественный корень В табл. 1 приведены численные величины этих корней при различных значениях параметров

Рис. 7

На рис. 7 изображены зависимости величин в функции параметра для равных 0,1; 0,6; 1. Ниже кривых расположены зоны неустойчивого вращения обращенного гиромаятника с упругой осью С увеличением гибкости вала растет угловая скорость вращения, выше которой наступает устойчивость вертикального положения его оси симметрии.