6. ВЛИЯНИЕ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

По характеру взаимодействия цапф и подшипников последние можно разделить На три группы:

1) подшипники, у которых между их внутренней расточкой и цапфой всегда имеется слой смазки (режим гидродинамического трения);

2) подшипники, у которых в зазоре смазка вообще не предусмотрена или количество ее недостаточно, вследствие чего возможен непосредственный контакт цапфы и подшипника (режим сухого трения или скудной смазки);

3) подшипники, у которых взаимодействие с цапфой осуществляется посредством магнитного поля, т. е. без промежуточной среды.

Ниже рассмотрены вопросы влияния на колебания роторов только подшипников с гидродинамическим режимом трения. По принципу формирования поля давлений подшипники этой группы можно разделить на гидродинамические (газодинамические), у которых несущий смазочный слой создается за счет относительного движения цапфы и подшипника, и гидростатические (газостатические), у которых смазочный слой создается в основном за счет внешних источников давления, например насоса.

Несмотря на малую толщину смазочный слой подшипников скольжения оказывает существенное влияние на динамику роторов. Вопросам динамики роторов на подшипниках скольжения посвящена обширная литература

Гидродинамические силы. При анализе динамики роторов, опирающихся на подшипники скольжения, необходимо решать совместную задачу теории колебаний и гидродинамики. Гидродинамическая сторона задачи сводится к решению ряда уравнений гидродинамической теории смазки при неустановившемся течении, окончательной целью решения которых, как правило, является определение так называемых статических и динамических характеристик. Статические характеристики определяют кривую стационарных положений цапфы, расход смазки, потери мощности на трение. Динамические характеристики (коэффициенты) определяют действующие на цапфу дополнительные силы, возникающие при малых перемещениях цапфы из стационарного положения. Знание этих коэффициентов позволяет решать задачи устойчивости и линейные задачи вынужденных колебаний при внешних периодических нагрузках, малых по сравнению со статической нагрузкой.

На рис. 30 показана схема подшипника скольжения. В дальнейшем используют обозначения, — скорость вращения; радиус цапфы; I — длина подшипника; радиальный зазор при центральном положении цапфы; статическая нагрузка.

Рис. 30 (см. скан)

Для определения давлений в тонком смазочном слое при обычных для гидродинамической теории смазки предположениях и без учета сил инерции смазки, влияние которых на колебания в большинстве случаев пренебрежимо мало, служит известное уравнение Рейнольдса [25]

где соответственно окружная и продольная координаты; плотность; динамическая вязкость смазки; толщина зазора.

Уравнение (72) справедливо для любых типов подшипников. Различия возникают из-за различного характера зависимости плотности от давления (несжимаемая и сжимаемая смазки) и вязкости от скорости (ламинарный и турбулентный режимы), роли внешнего давления конфигураций областей интегрирования и граничных условий на них, а также вида зависимостей для толщины слоя

Для гидродинамических подшипников на жидкой смазке при ламинарном режиме течения уравнение (72) будет линейным относительно

где вязкость смазки при некоторой средней температуре.

Уравнение (73) решается при известных значениях давления на входе и выходе пябочеи области подшипника; при этом используют также дополнительное физическое условие, что давление в смазке не может быть отрицательным.

При стационарном вращении цапфы, нагруженной вертикальной силой

толщина слоя во времени не меняется определения давления служит уравнение которое дополняется интегральными условиями равновесия цапфы

где рабочая область подшипника.

При совместном решении уравнения (74) и условий (75) находят кривую подвижного равновесия в виде зависимости эксцентриситета (относительного эксцентриситета и угла подъема от коэффициента нагруженности удельная нагрузка, относительный зазор).

Для определения сил, действующих на цапфу при малых ее перемещениях из стационарного положения, используют метод возмущений. Наибольший интерес при этом представляют силы при поступательных перемещениях, характеризуемых смещениями и скоростями «Возмущенные» толщину слоя, скорость ее изменения и давление определяют по формулам

Зависимости (76) следует подставить в уравнение (73) и из полученного выражения вычесть уравнение (74) для стационарного решения. Тогда в результате преобразований, выполненных с учетом предположения о малости перемещений, получаем уравнение для дополнительных давлений:

из которого следует, что дополнительные давления являются линейными функциями смещений и скоростей.

Суммы проекций давлений на оси

где - так называемые динамические коэффициенты смазочного слоя, Которые могут быть представлены в виде

здесь некоторые величины, определяемые после решения четырех урав. нений в частных производных, получаемых из выражения (77). Эти величины зависят от режима работы подшипника и его конструкции.

2. Характеристики цилиндрического подшипника

(см. скан)

Для наиболее распространенных типов гидродинамических подшипников статические и динамические характеристики вычислены и затабулированы. В табл. 2 приведены данные для обыкновенного цилиндрического подшипника (рис. 31, а) с рабочей дугой 150°, относительной длиной а в табл. 3 — для так называемого эллиптического подшипника (рис. 31, б) с коэффициентом формы

Рис. 31

При больших линейных скоростях или при использовании маловязких жидкостей движение в зазоре может стать турбулентным Для развитого турбулентного режима при решении статических и динамических задач можно использовать уравнение Рейнольдса в форме [42]

некоторые величины, зависящие от местного числа Рейнольдса и абсолютной величины зазора

Для газодинамических подшипников уравнение (72) решается в предположении, что процесс является изотермическим где В — постоянная), а газ идеальным, т. е. рассматривается уравнение

3. Характеристики эллиптического подшипника

(см. скан)

Уравнение (81) является нелинейным относительно давления что существенно усложняет решение стационарной задачи. Уравнения для дополнительных давлений при малых смещениях будут линейными. Однако из-за того, что в правую часть уравнения (81) входит так называемый релаксационный член не удается в общем случае разделить уравнения гидродинамики и уравнения движения ротора, а приходится решать эти уравнения совместно.

Рис. 32

В частных случаях, когда отыскиваются периодические решения (вынужденные колебания, колебания на границе устойчивости), дополнительные газодинамические силы можно представить в виде (78), а динамические коэффициенты — в виде (79), однако при этом величины будут зависеть от частоты колебаний.

При малых линейных скоростях или при использовании маловязких жидкостей или газов применяют гидростатические (газостатические) подшипники (рис. 32), есущая способность которых создается в основном за счет внешнего избыточного Давления и включения в гидравлический тракт движения смазки специальных компенсаторов расхода (капилляры, диафрагмы и др.), а также камер, расположенных "Рабочей поверхности подшипника. Гидродинамическая сторона задачи для таких Донников существенно усложняется. Так, например, для гидростатических Дшипников с камерами приходится решать совместно уравнений Рейнольдса

вида (73) или (80) для перемычек между камерами и уравнений расхода для камер вида

где расход через компенсирующие устройства; окружной расход из камеры в камеру; расход через одну торцовую перемычку.

При решении динамической задачи наряду с «возмущением» уравнений (73) или (80) необходимо «возмущать» также уравнения расходов (82). При этом реакции смазочного слоя могут быть представлены в виде (78), где коэффициенты пропорциональности

здесь величины, зависящие от конструктивных и рабочих параметров подшипников, а также режима течения смазки.

При ламинарном режиме течения и капиллярной компенсации такими параметрами являются

При турбулентном режиме к указанным параметрам следует добавить еще один

4. Характеристики гидростатического подшипника при ламинарном режиме

(см. скан)

В табл. 4 и 5 приведены некоторые результаты расчетов для четырехкамерных гидростатических подшипников с конструктивными параметрами при ламинарном и турбулентном режимах.

Анализ динамических коэффициентов, определяемых выражениями (79) и (83), а также приведенных в табл. 2—5 показывает, что побочные коэффициенты при смещениях в общем случае будут различными что указывает на присутствие в реакции слоя циркуляционных сил.

Влияние на устойчивость. Роторы, опирающиеся на подшипники скольжения, при определенных условиях теряют устойчивость и возникают автоколебания. Эксперименты показывают, что колебания такого рода обычно возникают как у жестких

роторов при больших скоростях, так и у гибких роторов при скоростях, близких или больших удвоенной первой критической скорости. При этом частота автоколебаний для жесткого ротора оказывается всегда близкой к половине скорости вращения, а для гибких роторов — близкой к его первой критической скорости. Указанные экспериментальные факты находятся в соответствии с расчетным анализом устойчивости. Вопросам влияния подшипников скольжения на устойчивость роторов посвящено значительное число работ [7, 31, 35, 36]. Ниже дается изложение проблемы на примере симметричного идеально уравновешенного статически нагруженного гибкого ротора с одним диском, опирающегося на два одинаковых подшипника скольжения (рис. 33).

Рис. 33

Первоначально рассматриваются гидродинамические подшипники, затем отмечаются особенности, присущие гидростатическим и газовым подшипникам.

5. Характеристики гидростатического подшипника при турбулентном режиме

(см. скан)

Гидродинамические подшипники [43]. Уравнения движения при малых поступательных перемещениях цапф ротора с кривой подвижного равновесия записываются в виде

Где гидродинамические реакции, определяемые выражениями (78), в которых надо положить

Задача устойчивости характеризуется тремя безразмерными параметрами, один из которых определяет положение цапф на кривой подвижного равновесия (коэффициент нагруженности или эксцентриситет а два других характеризуют в основном влияние скорости вращения и гибкости ротора.

Рис. 34

Параметры устойчивости могут быть выбраны неоднозначно, поэтому ниже используется несколько вариантов параметров для того, чтобы подчеркнуть те или иные физические особенности задачи. Естественными параметрами устойчивости являются величины

В случае, когда статическая нагрузка является весовой, могут быть использованы параметры

Между параметрами групп (85) и (86) существуют очевидные соотношения

При использовании параметров условие устойчивости, уравнение границы устойчивости и частота колебаний на границе представляются в виде

где использованы обозначения

На рис. 34 для ротора на -градусных цилиндрических подшипниках, характеристики которых приведены в табл. 2, построены границы устойчивости и частоты колебаний при использовании параметров а на рис. 35 — при

использовании параметров и параметров Области неустойчивости заштрихованы.

Из рис. 34 и 35 следует вывод, что увеличение скорости и уменьшение жесткости ротора всегда понижают устойчивость. Особенно резко понижается устойчивость при скоростях, близких к удвоенной критической. Из рис. 35 следует, что в случае, когда статическая нагрузка не является весовой, устойчивость повышается с ростом коэффициента (эксцентриситета при этом ненагруженный ротор ) будет неустойчив. В случае, когда нагрузка является весовой (рис. 35), влияние параметра (эксцентриситета ) на устойчивость существенно уменьшается, при этом малонагруженный ротор будет уже устойчивым. Для обоих случаев нагрузки существует такое предельное значение параметра при больших значениях которого ротор всегда будет устойчивым. Из рис. 35 следует, что при скоростях, близких к удвоенной критической, теряют устойчивость более гибкие роторы (малые значения параметра А).

Рис. 35

Частота колебаний на границе устойчивости не зависит от жесткости ротора, в широком диапазоне изменения параметра остается близкой к и уменьшается до нуля лишь при Если потеря устойчивости происходит при скорости, близкой к удвоенной критической (гибкие роторы с малым значением параметра А), то частота колебаний, оставаясь близкой к одновременно оказывается близкой к собственной частоте ротора на абсолютно жестких опорах

Анализ большого числа расчетов устойчивости средне нагруженных роторов на цилиндрических подшипниках позволяет предложить оценочную формулу Для определения скорости потери устойчивости:

где коэффициент зависит от величины рабочей дуги подшипника а:

Формула (88) основана на малой зависимости границы устойчивости от 5 и от относительной длины подшипника а также на близости частоты колебаний на границе к Из формулы (88) видно, что меньшим величинам зазора соответствует большая скорость потери устойчивости.

Анализ показал, что вышеприведенные результаты для ротора с одним диском являются справедливыми и для произвольных двухопорных роторов (ротор с несколькими дисками, с распределенными параметрами), если под понимать массу всего ротора, а под его первую собственную частоту. При этом результаты Расчетов всегда будут с некоторым запасом, так как дополнительный анализ показал, что гироскопический эффект дисков, который может проявляться в несимметричных системах, всегда повышает устойчивость.

Изложенные результаты подтверждаются экспериментами. Однако в ряде случаев расчетные значения скоростей потери устойчивости оказываются меньшими

тех, при которых наблюдаются интенсивные автоколебания. На рис. 36 представлена амплитудно-частотная кривая для модели ротора массой около на двух цилиндрических подшипниках. Расчетная критическая скорость об/мин, скорость потери устойчивости Найденный экспериментально порог самовозбуждения оказался равным об/мин и устанавливался по факту присутствия в общем спектре вибраций колебаний с небольшими амплитудами, имеющих частоту примерно Из рис. 36 также следует, что потеря устойчивости в данном случае не приводит сразу к заметному росту вибраций. Значительный рост амплитуд автоколебаний происходит при скоростях 3500— 4000 об/мин, которые по существу и определяют практическую границу устойчивости. Однако определение такой границы может быть сделано лишь при рассмотрении соответствующей нелинейной задачи об автоколебаниях [16, 33].

Рис. 36

Рис. 37

В проблеме устойчивости роторов на подшипниках скольжения особое место занимают ненагруженные роторы с вертикальной осью при полных -градусных) подшипниках. В таких системах и для подшипников с неограниченной протяженностью в результате расчета получают т. е. в реакции слоя отсутствуют квазиупругие силы. Теоретический анализ показывает, что такие системы будут неустойчивыми при любых скоростях.

Эксперименты не подтверждают безусловной неустойчивости вертикальных роторов, что может иметь несколько объяснений: неучет в исходных уравнениях гидродинамики локальных сил инерции смазки; некоторая некруглость реальных подшипников; влияние избыточного давления смазки, создающего стабилизирующий гидростатический эффект (см. ниже), а также влияние остаточной неуравновешенности ротора, из-за которой центр цапфы описывает круговую траекторию, и нужно анализировать не устойчивость центрального положения, а устойчивость кругового движения, что может привести к другим условиям устойчивости [30, 59].

Для предотвращения автоколебаний используют специальные, так называемые виброустойчивые подшипники скольжения, которые условно можно разделить на две группы:

1) подшипники с некруглой формой расточки (двухцентровые, трехцентровые, со смещенными вкладышами и др. — см. рис. 31, б);

2) подшипники с подвижными рабочими поверхностями (с вращающимся кольцом, с подвижными вкладышами и др. — см. рис. 31, в).

Наряду с виброустойчивыми подшипниками для подавления автоколебаний можно использовать специальные упругодемпферные устройства, совмещаемые обычно с опорами роторов. Качественная сторона влияния параметров демпферов на устойчивость нагруженного гибкого ротора с одним диском, опирающегося на два цилиндрических подшипника с дугой 180°, каждый из которых в свою очередь встроен в упругодемпферную опору с параметрами показана на рис. 37, где изображены границы устойчивости при различных коэффициентах демпфирования в опорах Остальные параметры опор: Режим работы подшипников соответствует относительному эксцентриситету Штриховой линией на рис. 37 показана граница

устойчивости исходного ротора, подшипники которого расположены на жестком фундаменте.

Как показали расчеты, для нагруженных двухопорных роторов могут быть рекомендованы демпферы с параметрами:

где — масса ротора; его первая собственная частота на жестких опорах. Малая жесткость демпферных опор, если это возможно, всегда является предпочтительной, так как при этом уменьшается необходимое значение коэффициента , а следовательно, и размеры демпфера.

Гидростатические подшипники. Для слабо- и средненагруженных подшипников (вплоть до при анализе устойчивости с достаточной для практики точностью могут быть использованы динамические коэффициенты при

где значения коэффициентов при При от параметра зависит только коэффициент (см. табл. 4, 5).

При использовании зависимостей (89) выражения для скорости потери устойчивости и частоты колебаний на границе имеют вид

где собственная частота ротора, вычисленная с учетом квазиупругих сил смазочного слоя. Для жесткого ротора зависимости (90) имеют вид

Из выражений (90) и (91) следует, что запас по устойчивости увеличивается с увеличением в частности, с увеличением внешнего давления В то же время из выражения (90) следует, что эта скорость при любых не может быть больше где собственная частота ротора на абсолютно жестких опорах.

Увеличение коэффициента жесткости подшипника может быть осуществлено также за счет оптимизации параметров подшипника, в частности за счет параметра Для ненагруженного -камерного подшипника с параметрами при ламинарном режиме течения и капиллярной компенсации оптимальные значения параметра обеспечивающие максимальные значения величины следующие:

Для четырехкамерного подшипника с параметрами при турбулентном режиме течения оптимальные значения обеспечивающие максимальные значения при различных значениях параметра следующие

Расчеты показали, что значение при практически не зависит от скорости вращения цапфы.

Для подавления автоколебаний роторов на гидростатических подшипниках с Успехом используют упругодемпферные опоры, параметры которых могут быть выбраны в соответствии с вышеприведенными рекомендациями для роторов на гидродинамических подшипниках.

Газодинамические подшипники. Для роторов на газовых подшипниках вопросы устойчивости имеют первостепенное значение, причем существенно большее, чем для роторов на жидкостных подшипниках, так как потеря устойчивости и последующие автоколебания из-за контакта сухих поверхностей практически всегда приводят к аварийным ситуациям. Задачи анализа устойчивости роторов на газовых подшипниках находятся еще в стадии разрешения.

Ниже приведены результаты анализа устойчивости для жесткого, симметричного и нагруженного ротора на двух газодинамических опорах с распределением давлений как у подшипника с неограниченной протяженностью [21, 62]. Результаты получены при отыскании совместного периодического решения на границе устойчивости как для уравнения газовой смазки (81), так и для уравнений движения ротора (84). При весовой нагрузке задача характеризуется параметрами

где абсолютное давление окружающей среды.

На рис. 38, а для случаев построена граница устойчивости в плоскости а на рис. 38, б — зависимость эксцентриситета от параметров для (сплошные линии) и (штриховые линии),

Рис. 38.

График на рис. 38, а может быть использован с некоторым запасом при оценке устойчивости реальных роторов, если под понимать эксцентриситет для подшипников конечной длины.

Из сопоставления рис. 38, а и рис. 35 следует, что в отличие от гидродинамических подшипников устойчивость роторов на газодинамических подшипниках уже существенно зависит от эксцентриситета т. е. от нагруженности подшипников.

Частота самовозбуждающихся колебаний на границе устойчивости, как и при гидродинамических подшипниках, близка к однако в некоторых случаях, например при использовании коротких подшипников с большими зазорами, она может уменьшаться до [62]. Исследования показывают, что для устранения автоколебаний и в случае газовых опор могут быть использованы упругодемпферные опоры [31].

Влияние на вынужденные колебания. Для роторов на подшипниках скольжения главный интерес представляют вынужденные колебания от неуравновешенности, от внешней периодической нагрузки, а также от некруглости цапф в подшипниках скольжения.

При рассмотрении колебаний от неуравновешенности основными являются задачи определения критических скоростей и амплитуд вынужденных колебаний. Из-за «немалости» неконсервативных сил в смазочном слое в рассматриваемых

задачах под критическими скоростями следует понимать такие скорости, при которых амплитуды вынужденных колебаний максимальны.

Особенности вынужденных колебаний иллюстрируются на примере нагруженного гибкого неуравновешенного ротора с одним диском, движение которого около стационарного положения описывается уравнениями

где по-прежнему гидродинамические реакции слоя, определяемые выражениями (78).

Рис. 39

На рис. 39 показаны амплитудные характеристики для больших полуосей эллипсов перемещений цапф и диска ротора на цилиндрических подшипниках с дугой (см. табл. 2) при двух значениях параметра при фиксированном значении параметра для характерных точек кривых построены траектории-эллипсы с соблюдением соотношений между осями и с соответствующим наклоном осей. Стрелкой показано направление движения по эллипсу, совпадающее с направлением вращения ротора. Из рис. 39 видно, что амплитудные кривые имеют Два максимума, определяющие низшую и высшую критические скорости. При низшей скорости наблюдается максимум перемещений цапф, и эта критическая скорость обусловлена главным образом квазиупругими силами смазочного слоя. Эллипс в этом случае существенно наклонен и колебания происходят преимущественно в горизонтальном направлении. Коэффициенты динамичности относительно невелики. Высшая критическая скорость наблюдается при скорости, близкой к собственной частоте

ротора на абсолютно жестких опорах. Колебания в этом случае происходят преимущественно в вертикальном направлении. С увеличением гибкости ротора демпфирующее влияние подшипников скольжения становится небольшим и кривые иосят ярко выраженный резонансный характер.

На рис. 40 показаны построенные по результатам большого числа расчетов зависимости величин низших и высших критических скоростей и коэффициентов динамичности при этих скоростях от параметров Из рис. 40 видно, что высшие критические скорости в широком диапазоне изменения параметров остаются близкими к собственной частоте ротора на жестких опорах, а низшие критические скорости мало зависят от параметра А и зависят главным образом от параметра

При действии на ротор, вращающийся с постоянной скоростью, независимой периодической нагрузки, создаваемой, например, вибрирующим основанием или Другими роторами в соосных системах, могут возникнуть резонансные колебания, обусловленные как упругими свойствами ротора, так и свойствами смазочного слоя. Ниже это иллюстрируется на примере симметричного идеально уравновешенного ротора на двух цилиндрических подшипниках с дугой 150°, возбуждаемого независимым центробежным вибратором, имеющим вращающуюся с частотой массу на радиусе

Рис. 40

Рис. 41

Направление вращения вибратора может совпадать, а может и не совпадать с направлением вращения ротора.

На рис. 41 изображены амплитудные характеристики для жесткого ротора при прямом вращении вибратора и при трех значениях параметра устойчивости [одно из них соответствует границе устойчивости, частота самовозбуждающихся колебаний на границе . Из рис. 41 следует, что на границе устойчивости при частоте внешней нагрузки, совпадающей с частотой самовозбуждающихся колебаний, амплитуды вынужденных колебаний становятся неограниченно большими (в линейной постановке), несмотря на наличие в системе демпфирования. Для значений параметра В, отличных от В, колебания вблизи также носят резонансный характер. Учитывая это, а также то, что вблизи границы устойчивости частота автоколебаний близка к половине частоты вращения, можно утверждать, что частота в определенном смысле является собственной частотой жесткого ротора.

При вращении вибратора в обратную сторону какие-либо резонансы отсутствуют, и амплитуды колебаний значительно меньше, чем при прямом вращении, т. е. смазочный слой при таком возбуждении оказывает значительное демпфирующее действие. Для гибкого ротора при прямом вращении вибратора существуют уже два значения частоты 0, при которых будут наблюдаться резонансные колебания: 1) где собственная частота ротора на абсолютно жестких опорах.

Некруглость цапф подшипников скольжения приводит к вынужденным колебаниям с частотами, кратными частоте вращения, амплитуды которых следует учитывать

случаях, когда к машинам предъявляются повышенные требования по уровню вибраций [22, 50].

Для роторов на гидростатических подшипниках, как и в задачах устойчивости, положение цапф в подшипниках (величина х) оказывает незначительное влияние на вынуждениые колебания от неуравновешенности. Поэтому инже приведены некоторые результаты для симметричного ненагруженного гибкого ротора на двух подшипниках. Амплитуды вынужденных колебаний как для цапф, так и для диска имеют максимум при частоте, близкой к собственной частоте соответствующей консервативной системы [см. (90)], вычисленной с учетом квазиупругих свойств подшипников. Амплитуды колебаний при резонансе зависят от величин безразмерных параметров задачи:

Максимальные значения перемещений цапфы и диска ротора определяют из выражений

где — динамические коэффициенты подшипников при (см. табл. 4 и 5). При некоторых значениях параметров, например, при больших и малых резонансные колебания в системе проявляются слабо или просто отсутствуют.

6. Значения первой критической скорости в зависимости от параметра

Ниже приведены некоторые результаты для симметричного жесткого ненагруженного неуравновешенного ротора, опирающегося на два одинаковых газодинамических подшипника с таким же распределением давлений, как и в подшипнике неограниченной протяженности. Задача характеризуется безразмерными параметрами

В табл. 6 в зависимости от параметра приведены значения соответствующие первой критической скорости, и максимальные значения амплитуд колебаний при этих скоростях.