§ 5. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА

1. Вывод уравнений Лагранжа.

1. При изучении общих теорем динамики системы мы исходили из общего принципа Даламбера—Лагранжа. Получаемые из него уравнения движения не включали в себя реакций связи, но при этом необходимо накладывались определенные ограничения на связи. Принцип Даламбера — Лагранжа дает возможность получить полную систему уравнений движения и в более общем случае, когда на систему материальных точек наложены идеальные голономные связи. Такие общие уравнения впервые были установлены Лагранжем в 1788 г.

Рассмотрим движение системы, состоящей из материальных точек с массами относительно неподвижной системы координат Координаты точек обозначим через

Пусть на точки системы действуют активные силы с проекциями на неподвижные оси координат Предположим, кроме того, что координаты точек стеснены идеальными голономными связями. Пусть положение такой системы можно определить независимыми параметрами число которых называется числом степеней свободы. Пусть декартовы координаты точек системы можно представить как явные функции этих независимых параметров и времени:

Будем предполагать, что матрица, составленная из частных производных

имеет ранг Параметры называют лагранжевыми координатами системы. Они однозначно определяют положение механической системы и поэтому их иногда называют определяющими координатами Чаплыгин), или обобщенными координатами. Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями.

Рис. 201

Уравнения, определяющие декартовы координаты точек через лагранжевы координаты и время, будем в дальнейшем называть уравнениями связи, так как они связывают декартовы координаты с независимыми лагранжевыми координатами.

Будем говорить, что связи, наложенные на систему, зависят явно от времени, когда декартовы координаты точек явно выражаются не только через лагранжевы координаты, но и через время, хотя такая зависимость от времени может иметь условный характер.

Так, например, положение свободной материальной точки в плоскости можно определить декартовыми координатами х, у некоторой неподвижной системы осей. Пусть, кроме того, имеется другая система осей вращающаяся в плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью . Положение материальной точки по отношению к системе зададим полярными координатами (рис. 201), которые можно рассматривать как лагранжевы координаты точки. Декартовы координаты точки х и у явно представляются через параметры и время

Будем говорить, что на точку в данном случае наложены связи, зависящие от времени, хотя эта зависимость относится к подвижной системе (координаты определяют относительное положение точки).

Уравнения связей устанавливают зависимость между декартовыми координатами точек системы и независимыми параметрами,

рами, определяющими положение системы. Возможные перемещения системы определим как такие бесконечно малые перемещения точек системы, которые определяются лишь изменением лагранжевых координат, но не изменением времени в уравнениях связи. Поэтому для возможных перемещений точек системы будем иметь

Подставляя эти значения возможных перемещений в общее уравнение динамики

получим

или, после изменения порядка суммирования,

Обозначим через сумму

Величину будем называть обобщенной силой, отнесенной к координате Смысл обобщенных сил можно прояснить, рассматривая работу всех активных сил, действующих на систему, на произвольном возможном перемещении системы. Тогда будем иметь

где — коэффициенты при в выражении работы системы сил на произвольном возможном перемещении системы. Если рассмотреть такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата и не изменяются остальные координаты, то

откуда получим

Член можно представить в виде

так как

то

тогда для получим

Аналогичные преобразования можно записать для после чего общее уравнение динамики перепишется в виде

или

Но выражение

представляет собой живую силу системы в ее абсолютном движении, поэтому общее уравнение динамики приобретает форму

Это уравнение справедливо при всех возможных перемещениях системы. Так как координаты Лагранжа таковы, что все величины в каждый момент времени могут изменяться независимо одна от другой и могут принимать значения любого знака, то последнее равенство будет справедливо только в том случае, когда все коэффициенты при одновременно равны нулю. Таким образом, приравнивая коэффициенты при нулю, получим систему уравнений

или

Уравнения эти впервые были получены Лагранжем и называются уравнениями Лагранжа второго рода.

Кроме того, что уравнения Лагранжа имеют вычислительные преимущества, они являются и более общими уравнениями, чем те, которые получаются из основных теорем динамики, поскольку существуют при каких угодно голономных идеальных связях, без ограничений на возможные перемещения системы. Кроме того, в полученные уравнения не входят реакции связей, поэтому для определения движения нет необходимости знать эти реакции. Движение определяется только активными силами. Для составления уравнений движения достаточно определить живую силу системы и обобщенные силы.

Замечания. 1. Перепишем общее уравнение динамики в виде

где

Предполагая, что все можно положить после чего уравнение получает вид

Последнее возможно лишь в случае, когда все равны нулю одновременно. Если же не все равны нулю, то при будем иметь

что возможно только при

2. При изучении общих теорем динамики рассматривались лишь частные случаи систем, обладающих определенным классом возможных перемещений (поступательное, вращательное и т. д.). Для ряда механических систем эти условия общих теорем не выполняются, и последние не могут быть применимы без введения реакций связей. Метод Лагранжа позволяет изучать движение в самом общем случае. Естественно, что если за обобщенные координаты будут взяты параметры, соответствующие перемещениям, допускающим применение общих теорем, то уравнения Лагранжа будут совпадать с уравнениями, полученными из общих теорем.