Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
3. Приведение системы скользящих векторов к простейшей эквивалентной форме.При изучении различных систем векторов особо выделим систему параллельных скользящих векторов. а) Система параллельных скользящих векторов.Определение. Векторы, линии действия которых параллельны, называются параллельными скользящими векторами. Сначала рассмотрим случай двух параллельных векторов, направленных в одну сторону, предполагая, что их линии действия проходят через точки А и В, в которые и перенесем векторы (рис. 14). Проведем через точки А и В прямую и присоединим к системе два равных по величине, противоположно направленных и лежащих на одной прямой АВ, вектора
Два последних вектора Р и Q перенесем вдоль их линий действия в точку пересечения
Полученный вектор
Рис. 14
Рис. 15 Из подобия треугольников
или
т. е.
Мы получили, что система двух параллельных векторов, направленных в одну сторону, приводится к одному скользящему вектору, эквивалентному заданной системе, линия действия которого параллельна линиям действия первоначальных векторов и делит расстояние между ними в отношении, обратно пропорциональном их величинам, а модуль равен сумме модулей векторов системы. Рассмотрим теперь систему, состоящую из двух параллельных векторов, направленных в противоположные стороны. Пусть величины этих векторов различны и для определенности положим элементарных операций вектор а можно заменить эквивалентной системой из двух векторов
где векторы
Линию действия вектора
или
Система векторов
Направления векторов Замечание. Вектор б) Пара скользящих векторов и ее свойства.Рассмотренный выше случай противоположно направленных параллельных векторов исключает равенство Систему двух параллельных векторов, равных по величине, направленных в противоположные стороны и не лежащих на одной прямой, будем называть парой. Пара скользящих векторов обладает целым рядом специфических особенностей и имеет очень большое значение в теории скользящих векторов. Плоскость, определяемую векторами пары, будем называть плоскостью пары, расстояние между линиями действия векторов пары — плечом пары. Векторы пары создают «вращение плеча» в ту сторону, куда указывают их стрелки. Всегда можно указать ту сторону от плоскости пары, откуда это вращение видно происходящим против хода часовой стрелки. Эту сторону назовем положительной. Введем в рассмотрение вектор
что дает возможность определить проекции вектора
Рис. 16
Рис. 17 Заметим, что при помощи элементарных операций пару нельзя привести к одному скользящему вектору, эквивалентному паре. В этом мы уже имели возможность убедиться, рассматривая систему из двух параллельных скользящих векторов, направленных в противоположные стороны. Как было показано, система таких векторов эквивалентна одному результирующему вектору только тогда, когда разность величин векторов отлична от нуля. Если же эта разность стремится к нулю, величина результирующего вектора тоже стремится к нулю, а линия его действия уходит в бесконечность. Установим следующие свойства пары: 1. При помощи элементарных операций пару можно повернуть в своей плоскости, причем момент пары не изменяет ни величины, ни направления. В самом деле, пусть имеется пара скользящих векторов образуют угол а с векторами пары. В произвольно выбранных точках С и D этих прямых добавим две нулевые системы скользящих векторов 2. При помощи элементарных операций можно изменить плечо пары (изменяя величины векторов обратно пропорционально изменению плеча пары), при этом получаем эквивалентную пару, момент которой по величине и по направлению равен моменту первоначальной пары. Для доказательства этого предложения предположим, что некоторая прямая А пересекает линии действия векторов пары под прямым углом в точках А и В, так что отрезок АВ равен величине ллеча пары
Полученная система шести векторов эквивалентна первоначальной паре. Как нетрудно убедиться, система параллельных векторов а и и (последний проходит через С) эквивалентна одному вектору
С другой стороны, векторы
Векторы
т. е. равен по величине и по направлению моменту первоначальной пары.
Рис. 18
Рис. 19 3. При помощи элементарных операций пару можно переносить в параллельную плоскость. При этом величина и направление вектора момента пары остаются неизменными. В самом деле, пусть заданная пара скользящих векторов а и —а расположена в плоскости состоящую из двух скользящих векторов Замечание. Плоскость пары нельзя повернуть вокруг прямой, не являющейся ортогональной к плоскости пары. В самом деле, если предположить, что существуют две эквивалентные нары, лежащие соответственно в плоскостях
Рис. 20
Рис. 21 Утверждение об эквивалентности пар сводится теперь к условию эквивалентности двух параллельных скользящих векторов Рассмотренные свойства пары скользящих векторов говорят о том, что элементарными операциями можно изменять положение пары в пространстве, но при этом остается неизменным вектор момента пары, обладающий свойствами свободного вектора. По отношению к элементарным операциям вектор момента пары инвариантен. Следствие. Две пары эквивалентны, если их векторы моментов пар равны по величине, параллельны и одинаково направлены. Пары определяются своими моментами, которые являются свободными векторами. Теорема о сложении пар. Две произвольные пары эквивалентны одной паре, момент которой равен геометрической сумме моментов заданных пар. Доказательство. Рассмотрим две произвольные пары, плоскости которых пересекаются по некоторой прямой I, проходящей через точку О, с моментами соответственно отрезка ОА. Представленные пары можно теперь реализовать векторами
Складывая векторы
линии действия которых проходят соответственно через точки А и О. Векторы а и —а равны по величине, параллельны и направлены в противоположные стороны, т. е. представляют собой пару, эквивалентную двум первоначальным парам. Применяя алгебру свободных векторов для определения величины и направления момента результирующей пары, будем иметь
или
Рис. 22 в) Приведение произвольной системы скользящих векторов.Рассмотрим произвольную систему скользящих векторов
является вектором свободным. Проводя такие же преобразования для каждого вектора системы, в результате получим систему сходящихся скользящих векторов
линия действия которого проходит через точку О. Складывая пары скользящих векторов
В результате приходим к следующей теореме. Теорема. Для произвольной системы скользящих векторов всегда можно построить эквивалентную систему, состоящую из трех скользящих векторов, причем линия действия одного из этих векторов (результирующего вектора) проходит через наперед заданную точку, а два других представляют пару с моментом, равным сумме моментов векторов системы относительно той же точки. Процесс построения результирующего вектора и результирующей пары носит название приведения системы скользящих векторов кпроизвольной точке. Теорема об эквивалентности двух систем скользящих векторов. Две системы скользящих векторов Доказательство. (Необходимость). Предположим сначала, что система скользящих векторов (Достаточность). Если предположить, что две системы скользящих векторов г) Изменение точки приведения системы скользящих векторов. Инварианты.Предположим, что система скользящих векторов уже приведена к началу координат и что результирующий вектор равен параллельной вектору
которую можно сложить с первоначальной результирующей парой с моментом
Новая система скользящих векторов эквивалентна первоначальной системе и состоит из скользящего вектора Рассмотрим инвариантные величины по отношению к изменению точки приведения системы скользящих векторов. Первым таким инвариантом является, очевидно, величина и направление результирующего вектора, не изменяющиеся при изменении точки приведения. Результирующий вектор остается скользящим вектором. Вторым инвариантом является скалярное произведение результирующего вектора на момент результирующей пары. В самом деле,
или, переписывая этот инвариант в другом виде, имеем
С другой стороны, скалярное произведение двух векторов равно
Здесь д) Приведение системы скользящих векторов к винту.Как мы уже имели возможность заметить, при изменении точки приведения системы скользящих векторов не изменяется величина проекции момента результирующей пары на направление результирующего вектора, так что если момент результирующей пары вектору
Тогда при приведении к точке О для момента результирующей пары будем иметь
Рис. 23
Рис. 24 Этот момент коллинеарен с вектором
Если теперь начало координат выбрать в точке О, а координаты точки О обозначить через х, у, z, то, принимая во внимание, что проекции вектора
определяются из матрицы
можно записать уравнение (а) в виде
Полученное уравнение определяет прямую линию, параллельную линии действия вектора произвольной точки на направление линии действия результирующего вектора. е) Различные случаи приведения системы скользящих векторов.При изменении точки приведения системы скользящих векторов остаются инвариантными две величины: 1) величина и направление результирующего вектора; 2) скалярное произведение результирующего вектора на момент результирующей пары, т. е.
В зависимости от значений этих инвариантов можно различить четыре различных случая приведения системы скользящих векторов.
В этом случае для точек винтовой оси момент результирующей пары будет принимать нулевое значение, и система приведется к одному результирующему вектору, который называют равнодействующим вектором системы.
Система приводится к одной результирующей паре, которую будем называть равнодействующей парой.
При приведении к винтовой оси момент результирующей пары получает наименьшее значение, отличное от нуля. Система приводится к винту.
В этом случае система скользящих векторов эквивалентна нулю. Пример 4 Система скользящих векторов приведена к началу координат, причем результирующий вектор Проекции момента добавочной пары определяются из матрицы
а ось винта является линией пересечения плоскостей
Пример 5. Система скользящих векторов приведена к началу координат, причем результирующий вектор Приведем геометрическое решение задачи (рис. 24). Из точки О проведем прямую I, ортогональную к плоскости, построенной на векторах был бы направлен в сторону, противоположную направлению вектора
В точке
и направлен параллельно вектору
|
1 |
Оглавление
|