различных точек твердого тела отличаются друг от друга как по величине, так и по направлению.
Поступательное перемещение твердого тела. Может оказаться, что векторы перемещений различных точек твердого тела равны по величине и параллельны. В таком случае говорят, что твердое тело совершает поступательное перемещение. При поступательном перемещении твердого тела прямые линии, соединяющие две произвольные точки этого тела, остаются параллельными одному и тому же направлению.
Рис. 43
Рис. 44
Если с твердым телом жестко связать систему прямоугольных осей, то при поступательном перемещении твердого тела эти оси будут оставаться параллельными своему первоначальному положению. Как уже отмечалось, положение твердого тела вполне определяется положением трех его точек, не лежащих на одной прямой. Через такие три точки всегда можно провести две пересекающиеся прямые, которые полностью будут определять перемещение твердого тела.
Так как при поступательном перемещении векторы перемещений всех точек твердого тела равны по величине и по направлению, то такое перемещение может быть представлено одним вектором
где М — произвольная точка твердого тела. Иначе говоря, вектор перемещения твердого тела при поступательном перемещении можно переносить в любую точку твердого тела и рассматривать как вектор свободный.
Определение. Движение твердого тела, состоящее из последовательности поступательных перемещений, называют поступательным движением твердого тела.
Можно указать много примеров поступательных движений. Так, например, кабина лифта совершает поступательное движение,
кузов железнодорожного вагона, совершающего прямолинейное движение, тоже совершает поступательное движение и т. д.
Скорость поступательного движения. Пусть вектор 
поступательного перемещения твердого тела соответствует двум положениям твердого тела в моменты 
Отношение вектора перемещения 
к интервалу времени 
определяет среднюю скорость произвольной точки твердого тела, которая называется средней скоростью поступательного движения твердого тела. Предел этого отношения при 
если, конечно, он существует, будем называть скоростью поступательного движения твердого тел а
Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Рассмотрим твердое тело, у которого неподвижно закреплены две точки О и 
Такое твердое тело может вращаться вокруг неподвижной оси и не может совершать других движений. При вращении твердого тела всякая его точка описывает окружность в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Радиус соответствующей окружности равен расстоянию точки от оси вращения. Величина скорости произвольной точки твердого тела пропорциональна расстоянию 
от этой точки до оси вращения. Положение точки можно определить углом 
(двугранный угол) между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения, одна из которых неподвижна, а вторая вращается вместе с рассматриваемой точкой (рис. 44). Численная величина скорости точки М в ее круговом движении равна
где величина 
называется угловой скоростью вращения твердого тела. Она определяет скорость изменения угла между плоскостью, проходящей через ось вращения и через точку М, и неподвижной плоскостью, также проходящей через ось вращения.
Таким образом, вращение твердого тела может быть определено так же, как и скользящий вектор, тремя элементами: осью вращения, величиной вращения (величиной угловой скорости вращения) и стороной вращения. Если теперь ввести на оси вращения вектор 
направленный в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против движения часовой стрелки, а по величине равный величине угловой скорости вращения, то скорость точки М можно будет определить как момент вектора и относительно точки М. Величина и направление скорости 
не изменяются, если перемещать вектор 
вдоль оси вращения, т. е. 
— скользящий вектор
или
Полученная формула носит название формулы Эйлера. Выберем систему осей 
начало которой находится на оси вращения. Через 
обозначим проекции вектора угловой скорости и на оси координат, а через 
— орты координатных осей. Тогда из формулы Эйлера получим
откуда
Если ось вращения проходит через точку 
то для определения скоростей точек твердого тела формула Эйлера дает
или
соединяющий два различных положения точки твердого тела, характеризует перемещение точки 
(рис. 43). Этот вектор называют вектором перемещения точки 
твердого тела. В общем случае перемещения