2. Метод Рауса игнорирования циклических координат.

Э. Раус (1831—1907) предложил составлять уравнения движения, не содержащие циклических переменных. Для этого он ввел в рассмотрение функцию

которую в дальнейшем будем называть функцией Рауса. Она зависит только от позиционных координат и скоростей (циклические

скорости исключаются с помощью циклических интегралов), так что

При помощи этой функции можно получить уравнения движения, не содержащие циклических переменных. Рассмотрим изменение функции Рауса при переходе системы в другое, бесконечна близкое состояние. Сообщим величинам произвольные бесконечно малые приращения в некоторый момент времени что будет соответствовать возможному перемещению системы. При этом изменятся функции и Перемещение системы в соседнее, бесконечно близкое и кинематически возможное в тот же момент времени состояние, называют вариацией состояния системы. Вариация состояния вызывает соответствующие изменения исследуемых функций (в данном случае функций Рауса и Лагранжа). Линейная часть приращения функции при вариации состояния системы называется вариацией функции.

В рассматриваемом случае вариация функции Рауса имеет

С другой стороны, принимая во внимание выражение функции Рауса через и ее производные, будем иметь

Сравнивая эти два выражения для вариации одной и той же функции, заметим, что в силу их тождественности должны быть равны коэффициенты при соответствующих вариациях координат, скоростей и постоянных Принимая во внимание первые интегралы

получим следующие соотношения:

после чего уравнения движения для позиционных координат примет вид

где функция зависит уже только от позиционных координат и скоростей. Эти уравнения называются уравнениями Рауса. Теперь задача сводится к исследованию новой системы с 5 степенями свободы. Роль функции Лагранжа для новой системы играет функция Рауса.

После интегрирования уравнений Рауса задача определения циклических координат в функции времени сводится к квадратурам. Из уравнений

найдем

В этом и заключается метод игнорирования циклических координат.

Замечания. 1. Если координата является циклической, то имеет место условие

или

Последние равенства, в частности, имеют место и тогда, когда по отдельности выполняются условия

Эти условия являются достаточными для того, чтобы координата была циклической. Нахождение циклических переменных значительно облегчает решение задачи о движении системы.

Если

то соответствующая координате обобщенная сила

Поэтому циклические координаты можно искать на тех перемещениях, где активные силы, приложенные к точкам системы, не совершают работы. Это условие не является достаточным, и задача разыскания циклических координат остается в общем случае неразрешенной.

Пример 100. Рассмотрим движение материальной точки в центральном силовом поле с силовой функцией

Рис. 204

Перемещения, на которых сила не выполняет работы, соответствуют изменению углов и О при фиксированном (рис 204) Живая снла точки имеет

Как видно из выражения для частных производных

циклической координатой является только координата Интеграл, соответствующий этой координате, имеет вид

Игнорируя циклическую координату найдем функцию Рауса

Выпишем уравнения Рауса

Если ввести в рассмотрение выражение

представляющее собой живую силу точки в полярной системе координат, вращающейся вокруг оси и вместо силовой функции рассмотреть функцию вида

то задача сведется к определению плоского движения точки, движущейся под действием сил с силовой функцией и с функцией Рауса

2. Циклические координаты позволяют сводить задачи к исследованию новых систем с меньшим числом степеней свободы. Этот метод развивался в работах Герца, Рауса и Томсона, которые высказали предположение о том, что силы, имеющие силовую функцию, являются следствием существования скрытых циклических координат. Вопрос этот остается открытым и до настоящего времени.

3. Циклические интегралы являются некоторым обобщением основных теорем динамики системы (закона о сохранении движения центра масс и теоремы площадей). Рассматривая теорему о движении центра масс, заметим, что она имеет место, когда связи допускают поступательное перемещение всей системы. Пусть среди возможных перемещений системы имеется такое поступательное перемещение вдоль неподвижной оси х. Соответствующую этому перемещению лагранжеву координату обозначим через Определяя возможные перемещения через независимые координаты Лагранжа, будем иметь

Но при поступательном перемещении

поэтому, положив

будем иметь

Обобщенная сила, соответствующая координате имеет вид

Для составления уравнения Лагранжа необходимо еще подсчитать частные производные:

откуда следует, что уравнение Лагранжа, соответствующее координате имеет вид

Циклическому интегралу здесь соответствует закон сохранения количества движения центра масс.

Аналогичные рассуждения можно провести и для теоремы об изменении момента количества движения.